浙江省杭州市2019-2020学年高一下学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 4}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 函数f（x）=log₃（2﹣x）的定义域是（　　）

A、[2，+∞） B、（2，+∞） C、（﹣∞，2） D、（﹣∞，2]

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3. 已知幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象如图所示．若 $n \in {2 ， - 2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2}}$ 则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 对应的n的值依次为（）

A、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， 2 ， \frac{1}{2}$ B、 $2 ， \frac{1}{2} ， - 2 ， - \frac{1}{2}$ C、 $2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 2$ D、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， \frac{1}{2} ， 2$

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4. 要得到函数 $y = \cos x$ 的图象，只需将函数 $y = \sin x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ B、向右平移 $\frac{π}{4}$ C、向左平移 $\frac{π}{2}$ D、向右平移 $\frac{π}{2}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ．若 $< \vec{a} ， \vec{b} > = 60^{\circ}$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{34}$

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6. 已知 $\cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且 $| α | < \frac{π}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{1 + \cos 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 若 ${a_{n}}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，满足 $a_{3}^{2} + a_{4}^{2} = a_{5}^{2} + a_{6}^{2}$ ，则该数列的前8项和 $S_{8} =$ （）

A、-10 B、-5 C、0 D、5

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8. 如图，点 $A 、 B$ 在圆 $O$ 上，且点 $A$ 位于第一象限，圆 $O$ 与 $x$ 正半轴的交点是 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ ， $∠ A O C = α$ ，若 $| A B | = 1 ，$ 则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{- 4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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9. 若不等式 $(| x - a | - b) (2 x - x^{2}) \leq 0$ 对任意实数x恒成立，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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10. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，对任意实数x，y都有 $| \vec{a} - x \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ ， $| \vec{a} - y \vec{c} | \geq | \vec{a} - \vec{c} |$ 成立．若 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、双空题

11. 向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (n ， - 6)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $n =$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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12. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．若 $A (2 ， 3)$ （点A为图像的一个最高点）， $B (- \frac{5}{2} ， 0)$ ，则 $ω =$ ， $φ =$ ．

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13. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f (x) = 3^{x} + m$ （m为常数），则 $m =$ ， $f (- \log_{3} 5) =$ ．

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三、填空题

14. 有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为扇形面积为

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 2$ ，且数列 ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ 为等比数列，则 $a_{n} =$ ．

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16. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别在边BC，CD上，且 $P B + Q D = P Q$ ，则 $∠ P A Q$ 的大小为．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， x > a \\ x^{2} + 6 x + 3 ， x \leq a \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 恰有2个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

18. 设集合 $M = {x | (x + a) (x - 1) \leq 0} (a > 0)$ ， $N = {x | 4 x^{2} - 4 x - 3 < 0}$ ．
（Ⅰ）若 $M \cup N = {x | - 2 \leq x < \frac{3}{2}}$ ，求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）若 $(∁_{R} M) \cup N = R$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} \cos 2 x$ ， $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、若不等式 $| f (x) - m | < 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = 2 a_{n} + S_{n}$ ，且 $a_{3} + 2$ 是 $a_{2}$ ， $a_{4}$ 的等差中项．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）若 $b_{n} = - a_{n} \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\sin A = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ， $\sin B = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ，AB边上中线CD长为4．
（Ⅰ）求 $\cos C$ ；

（Ⅱ）求 $△ A C D$ 的面积．

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22. 定义函数 $f_{a} (x) = 4^{x} - (a + 1) \cdot 2^{x} + a$ ，其中x为自变量，a为常数．
（Ⅰ）若函数 $f_{a} (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最小值为-1，求a的值；

（Ⅱ）集合 $A = {x | f_{3} (x) \geq f_{a} (0)}$ ， $B = {x | f_{a} (x) + f_{a} (2 - x) = f_{2} (2)}$ ，且 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$ ，求a的取值范围．

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