江西省吉安市五校2019-2020学年高二上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-08-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{b} > {(\frac{1}{2})}^{a}$ D、 $a^{n} > b^{n}$

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2. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0$ ，则“ $a_{1} < a_{3}$ ”是“ $a_{1} < a_{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知抛物线 $y = 4 x^{2}$ 上一点P到焦点的距离为1，则点P的纵坐标为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{17}{16}$

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4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，面积为12 $π$ ，则椭圆C的方程为（）.

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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5. 直线 $m, n$ 和平面 $α, β$ ，则下列命题中，正确的是（）

A、 $m / / n, n ⊥ β, m \subseteq α \Rightarrow α ⊥ β$ B、 $m ⊥ α, m ⊥ n, n \subseteq β \Rightarrow α / / β$ C、 $m ∥ n, m \subseteq α, n \subseteq β \Rightarrow α ∥ β$ D、 $m / / n, m ⊥ α, n ⊥ β \Rightarrow α ⊥ β$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点坐标为 $(1, 0)$ ，若 $e = p$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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7. 现有命题“ $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + {(- 1)}^{n + 1} n = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{4} + \frac{n}{2})$ ， $n \in N_{+}$ ”，不知真假。请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（）

A、不能用数学归纳法去判断真假 B、一定为真命题 C、加上条件 $n \leq 9$ 后才是真命题，否则为假 D、存在一个很大常数 $m$ ，当 $n > m$ 时，命题为假

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8. 设F₁、F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使 $\vec{F_{1} M} \cdot (\vec{O F_{1}} + \vec{O M}) = 0$ ，O为坐标原点，且 $| \vec{F_{1} M} | = \sqrt{3} | \vec{F_{2} M} |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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9. 在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,动点P在ABCD内,且到直线AA₁ ， BB₁的距离之和等于 $2 \sqrt{3}$ ,则△PAB的面积最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 某四面体三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 若圆 $C :$ ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 2$ 与两条直线 $y = x$ 和 $y = - x$ 都有公共点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[0, 4]$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为1，则四棱锥 $B - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与四棱锥 $A - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 重叠部分的体积是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{24}$ D、 $\frac{7}{24}$

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二、填空题

13. 如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 $4 m$ 时，水面的宽 $6 m$ .经过一段时间的降雨后，水面上升 $1 m$ 了，此时水面宽度为 $m$ .

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14. 我们知道：在平面内，点 $(x_{0}, y_{0})$ 到直线 $A x + B y + C = 0$ 的距离公式为 $d = \frac{| A x + B y + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .通过类比的方法，可求得在空间中，点 $(2, 4, 1)$ 到平面 $x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ 的距离为．

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15. 已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = B D = 2 ，$ $B C = C D = \sqrt{2} ， A C = \sqrt{7}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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16. 平面直角坐标系 $x o y$ 中，动点P到两个顶点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $F_{2} (1 ， 0)$ 的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列命题中真命题的序号是．
⑴曲线E经过坐标原点 ⑵曲线E关于x轴对称

⑶曲线E关于y轴对称 ⑷若点 $(x ， y)$ 在曲线E上，则 $- 3 \leq x \leq 3$

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程 $4 x^{2} + 4 (m - 2) x + 1 = 0$ 无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.

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18. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n＝ $\frac{a_{n}}{2}$ ＋ $\frac{1}{a_{n}}$ －1，且a_n>0，n∈N^*.

(1)、求a₁ ， a₂ ， a₃ ，并猜想{a_n}的通项公式；

(2)、证明（1）中的猜想.

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19. 如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A E / / B C / / F D$ ，F为 $A B$ 的中点， $A B = F D = 2 B C = 2 A E$ .现把此五边形 $A B C D E$ 沿 $F D$ 折成一个 $60^{\circ}$ 的二面角.

(1)、求证：直线 $C E / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、求二面角 $E - C D - F$ 的平面角的余弦值

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $Δ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (0, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (1, - \sqrt{3})$ ，记 $Δ A B C$ 外接圆为圆M.

(1)、求圆M的方程；

(2)、在圆M上是否存在点 $P$ ，使得 $P A^{2} - P B^{2} = 4$ ？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

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21. 已知直线 $(1 + 4 k) x - (2 - 3 k) y - (3 + 12 k) = 0 (k \in R)$ 所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l : m x + n y = 1$ .试证明当点 $P (m, n)$ 在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.

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22. 设顶点在原点，焦点在x轴上的拋物线过点 $P (1, 2)$ ，过 $P$ 作抛物线的动弦 $P A$ ， $P B$ ，并设它们的斜率分别为 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ .
(Ⅰ)求拋物线的方程；

(Ⅱ)若 $k_{P A} + k_{P B} = 0$ ，求证：直线 $A B$ 的斜率为定值，并求出其值；

（III）若 $k_{P A} k_{P B} = 1$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求出其坐标.

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