江苏省常州市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 2的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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2. 计算 $m^{6} \div m^{2}$ 的结果是（）

A、 $m^{3}$ B、 $m^{4}$ C、 $m^{8}$ D、 $m^{12}$

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3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、三棱柱 C、四棱柱 D、四棱锥

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4. 8的立方根是（　　）

A、2 $\sqrt{2}$ B、±2 C、±2 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 如果 $x < y$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $2 x < 2 y$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $x - 1 > y - 1$ D、 $x + 1 > y + 1$

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6. 如图，直线a、b被直线c所截， $a // b$ ， $∠ 1 = 140 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点C是优弧 $A B$ 上的动点（C不与A、B重合）， $C H ⊥ A B$ ，垂足为H，点M是 $B C$ 的中点.若 $⊙ O$ 的半径是3，则 $M H$ 长的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，点D是 $▱ O A B C$ 内一点， $C D$ 与x轴平行， $B D$ 与y轴平行， $B D = \sqrt{2} ， ∠ A D B = 135 ° ， S_{△ A B D} = 2$ .若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过A、D两点，则k的值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、6

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二、填空题

9. 计算：|－2|＋(π－1)⁰＝.

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10. 若代数式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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11. 地球半径大约是 $6400 km$ ，将6400用科学记数法表示为.

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12. 分解因式：x³－x= ．

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13. 若一次函数 y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是.

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14. 若关于x的方程 $x^{2} + a x - 2 = 0$ 有一个根是1，则 $a =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点E、F.若 $△ A F C$ 是等边三角形，则 $∠ B =$ °.

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16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ D A B = 120 °$ .如图，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，使得边 $A B$ 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是.

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17. 如图，点C在线段 $A B$ 上，且 $A C = 2 B C$ ，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边在线段 $A B$ 的同侧作正方形 $A C D E$ 、 $B C F G$ ，连接 $E C$ 、 $E G$ ，则 $\tan ∠ C E G =$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 6 \sqrt{2}$ ，D、E分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，在直线 $D E$ 和直线 $B C$ 上分别取点F、G，连接 $B F$ 、 $D G$ .若 $B F = 3 D G$ ，且直线 $B F$ 与直线 $D G$ 互相垂直，则 $B G$ 的长为.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： ${(x + 1)}^{2} - x (x + 1)$ ，其中 $x = 2$ .

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20. 解方程和不等式组：

(1)、 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 - x} = 2$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 6 < 0 ， \\ - 3 x ⩽ 6. \end{array}$

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21. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.

(1)、本次抽样调查的样本容量是；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.

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22. 在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中.

(1)、搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；

(2)、搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.

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23. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， $E A // F B ， E A = F B ， A B = C D$ .

(1)、求证： $∠ E = ∠ F$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 ° ， ∠ D = 80 °$ ，求 $∠ E$ 的度数.

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24. 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.

(1)、求每千克苹果和每千克梨的售价；

(2)、如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

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25. 如图，正比例函数 $y = k x$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $A (a ， 4)$ .点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D.

(1)、求a的值及正比例函数 $y = k x$ 的表达式；

(2)、若 $B D = 10$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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26. 如图1，点B在线段 $C E$ 上，Rt△ $A B C$ ≌Rt△ $C E F$ ， $∠ A B C = ∠ C E F = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ .

(1)、点F到直线 $C A$ 的距离是；

(2)、固定△ $A B C$ ，将△ $C E F$ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 $C F$ 与 $C A$ 重合，并停止旋转.
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 $E F$ 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为；

②如图2，在旋转过程中，线段 $C F$ 与 $A B$ 交于点O，当 $O E = O B$ 时，求 $O F$ 的长.

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27. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 $P Q \cdot P H$ 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.

(1)、如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点E的坐标为 $(0 ， 4)$ ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_▲__；

②若直线n的函数表达式为 $y = \sqrt{3} x + 4$ ，求 $⊙ O$ 关于直线n的“特征数”；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (1 ， 4)$ ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， $\sqrt{2}$ 为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点 $N (- 1 ， 0)$ 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是 $4 \sqrt{5}$ ，求直线l的函数表达式.

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28. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + 3$ 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 $C (1 ， 0)$ ，且顶点为D，连接 $A C$ 、 $B C$ 、 $B D$ 、 $C D$ .

(1)、填空： $b =$ ；

(2)、点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 $P C$ 交直线 $B D$ 于点Q.若 $∠ C Q D = ∠ A C B$ ，求点P的坐标；

(3)、点E在直线 $A C$ 上，点E关于直线 $B D$ 对称的点为F，点F关于直线 $B C$ 对称的点为G，连接 $A G$ .当点F在x轴上时，直接写出 $A G$ 的长.

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