湖北省孝感市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 如果温度上升 $3 ℃$ ，记作 $+ 3 ℃$ ，那么温度下降 $2 ℃$ 记作（）

A、 $- 2 ℃$ B、 $+ 2 ℃$ C、 $+ 3 ℃$ D、 $- 3 ℃$

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2. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点O， $O E ⊥ C D$ ，垂足为点O.若 $∠ B O E = 40 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $140 °$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 ${(3 a b)}^{2} = 9 a b^{2}$ C、 $2 a \cdot 3 b = 6 a b$ D、 $2 a b^{2} \div b = 2 b$

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4. 如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：

年收入/万元

4

6

8

10

人数/人

3

4

2

1

则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）

A、4，6 B、6，6 C、4，5 D、6，5

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6. 已知 $x = \sqrt{5} - 1$ ， $y = \sqrt{5} + 1$ ，那么代数式 $\frac{x^{3} - x y^{2}}{x (x - y)}$ 的值是（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： $Ω$ ）是反比例函数关系，它的图象如图所示.则这个反比例函数的解析式为（）

A、 $I = \frac{24}{R}$ B、 $I = \frac{36}{R}$ C、 $I = \frac{48}{R}$ D、 $I = \frac{64}{R}$

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8. 将抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 2 x + 3$ 向左平移1个单位长度，得到抛物线 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 与抛物线 $C_{3}$ 关于x轴对称，则抛物线 $C_{3}$ 的解析式为（）

A、 $y = - x^{2} - 2$ B、 $y = - x^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} - 2$ D、 $y = x^{2} + 2$

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $∠ B A D = 30 °$ .动点 $P$ 沿路径 $A \to B \to C \to D$ 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点 $P$ 作 $P H ⊥ A D$ ，垂足为 $H$ .设点 $P$ 运动的时间为x（单位： $s$ ）， $△ A P H$ 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，点E在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ A B F$ 的位置，连接 $E F$ ，过点A作 $E F$ 的垂线，垂足为点H，与 $B C$ 交于点G.若 $B G = 3$ ， $C G = 2$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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二、填空题

11. 原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒.数据100万用科学记数法表示为.

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12. 有一列数，按一定的规律排列成 $\frac{1}{3}$ ，-1，3，-9，27，－81，….若其中某三个相邻数的和是-567，则这三个数中第一个数是.

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13. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 $A B$ 的长为 $m$ .（结果保留根号）

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14. 在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操.为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长 $\leq 5$ 分钟；B类：5分钟 $<$ 总时长 $\leq 10$ 分钟；C类：10分钟 $<$ 总时长 $\leq 15$ 分钟；D类：总时长 $>$ 15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.

该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有人.

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15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，空白部分的面积为 $S_{2}$ ，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若 $S_{1} = S_{2}$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的值为.

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16. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 上， $\frac{A C}{B D} = \frac{2}{3}$ .平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接 $O E$ ， $O F$ ，则 $△ O E F$ 的面积为.

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt[3]{- 8} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{4})}^{0}$

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A B$ 的延长线上，点F在 $C D$ 的延长线上，满足 $B E = D F$ .连接 $E F$ ，分别与 $B C$ ， $A D$ 交于点 $G$ ，H.求证： $E G = F H$ .

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19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 $- 1$ ，2，5，8.

(1)、随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为；

(2)、随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率.

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 3 ， 1)$ 和 $C (4 ， 0)$ ，请按下列要求画图并填空.

（ 1 ）平移线段 $A B$ ，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段 $C D$ ，并写出点D的坐标为_▲_；

（ 2 ）将线段 $A B$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后所得的线段 $A E$ ，并直接写出 $\cos ∠ B C E$ 的值为_▲_；

（ 3 ）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $△ A B F$ 的周长最小，并直接写出点F的坐标为_▲__.

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ .

(1)、求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求k的值.

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22. 某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知 $1 k g$ 乙产品的售价比 $1 k g$ 甲产品的售价多5元， $1 k g$ 丙产品的售价是 $1 k g$ 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.

(1)、求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？

(2)、电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 $40 k g$ ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买 $40 k g$ 农产品最少要花费多少元？

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23. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $∠ A B C$ 的平分线与 $⊙ O$ 交于点D，与 $A C$ 交于点E，连接 $C D$ 并延长与 $⊙ O$ 过点A的切线交于点F，记 $∠ B A C = α$ .

(1)、如图1，若 $α = 60 °$ ，
①直接写出 $\frac{D F}{D C}$ 的值为；

②当 $⊙ O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；

(2)、如图2，若 $α < 60 °$ ，且 $\frac{D F}{D C} = \frac{2}{3}$ ， $D E = 4$ ，求 $B E$ 的长.

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + 4 a - 6 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D.

(1)、当 $a = 6$ 时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
$A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ；

(2)、如图1，直线 $D C$ 交x轴于点E，若 $\tan ∠ A E D = \frac{4}{3}$ ，求a的值和 $C E$ 的长；

(3)、如图2，在（2）的条件下，若点N为 $O C$ 的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交 $A N$ 于点F；过点F作 $F H ⊥ D E$ ，垂足为H.设点P的横坐标为t，记 $f = F P + F H$ .
①用含t的代数式表示f；

②设 $- 5 < t \leq m (m < 0)$ ，求f的最大值.

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年收入/万元	4	6	8	10
人数/人	3	4	2	1