湖北省咸宁市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（）

A、 $3 + (- 2)$ B、 $3 - (- 2)$ C、 $3 \times (- 2)$ D、 $(- 3) \div (- 2)$

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2. 中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人.将305000000用科学记数法表示为（）

A、 $0.305 \times 10^{11}$ B、 $3.05 \times 10^{8}$ C、 $3.05 \times 10^{6}$ D、 $305 \times 10^{8}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a - a = 2$ B、 $a \cdot a^{2} = a^{3}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(3 a^{2})}^{2} = 6 a^{4}$

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4. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）

A、乙的最好成绩比甲高 B、乙的成绩的平均数比甲小 C、乙的成绩的中位数比甲小 D、乙的成绩比甲稳定

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A = 2$ ， $∠ C = 45 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} - \sqrt{2}$ B、 $π - \sqrt{2}$ C、 $\frac{π}{2} - 2$ D、 $π - 2$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = x + 2$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = x^{2} - 2 x$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，E是 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点B落在点F处，连结 $C F$ ，则 $c o s ∠ E C F$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

9. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是.

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10. 因式分解： $m x^{2} - 2 m x + m =$ .

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11. 如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ， ∴ $a // b$ .

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12. 若关于x的一元二次方程 ${(x + 2)}^{2} = n$ 有实数根，则n的取值范围是.

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13. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是.

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14. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 $24nmile$ 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 $n mile$ .（结果保留一位小数， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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15. 按一定规律排列的一列数：3， $3^{2}$ ， $3^{- 1}$ ， $3^{3}$ ， $3^{- 4}$ ， $3^{7}$ ， $3^{- 11}$ ， $3^{18}$ ，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，点E是边 $B C$ 上一动点（不与点B，C重合）， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F$ 交正方形外角的平分线 $C F$ 于点F，交 $C D$ 于点G，连接 $A F$ ，有下列结论：
① $△ A B E ∽ △ E C G$ ；

② $A E = E F$ ；

③ $∠ D A F = ∠ C F E$ ；

④ $△ C E F$ 的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是.（把正确结论的序号都填上）

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三、解答题

17.

(1)、计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 \sin 45^{°} + {(- 2020)}^{0}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} - (x - 1) > 3, \\ 2 x + 9 > 3. \end{array}$

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，以点B为圆心， $B A$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，在 $A D$ 上截取 $A F = B E$ ，连接 $E F$ .

(1)、求证：四边形 $A B E F$ 是菱形；

(2)、请用无刻度的直尺在 $▱ A B C D$ 内找一点P，使 $∠ A P B = 90 °$ （标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）

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19. 如图，已知一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A (6 ， 1)$ ， $B (a ， - 3)$ 两点，连接 $O A$ ， $O B$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、 $△ A O B$ 的面积为；

(3)、直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时x的取值范围.

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20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式.为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：

min

），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表.

在线阅读时间频数分布表

组别	在线阅读时间t	（人数）
A	$10 ⩽ t < 30$	4
B	$30 ⩽ t < 50$	8
C	$50 ⩽ t < 70$	a
D	$70 ⩽ t < 90$	16
E	$90 ⩽ t < 110$	2

根据以上图表，解答下列问题：

(1)、这次被调查的同学共有人，

a =

，

m =

；

(2)、求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；

(3)、若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于

50 min

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21. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ，点O在 $A C$ 上，以 $O A$ 为半径的半圆O交 $A B$ 于点D，交 $A C$ 于点E，过点D作半圆O的切线 $D F$ ，交 $B C$ 于点F.

(1)、求证： $B F = D F$ ；

(2)、若 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $C F = 1$ ，求半圆O的半径长.

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22. 5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课.为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生.已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元.用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同.

(1)、求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？

(2)、如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买.设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示.

(3)、在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式.若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？

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23. 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

(1)、理解：若四边形 $A B C D$ 是对余四边形，则 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的度数之和为；

(2)、证明：如图1， $M N$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A M$ ， $C N$ 相交于点D.
求证：四边形 $A B C D$ 是对余四边形；

(3)、探究：如图2，在对余四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ，探究线段 $A D$ ， $C D$ 和 $B D$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 过点B且与直线相交于另一点 $C (\frac{5}{2} ， \frac{3}{4})$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线上的一动点，当 $∠ P A O = ∠ B A O$ 时，求点P的坐标；

(3)、点 $N (n ， 0) (0 < n < \frac{5}{2})$ 在x轴的正半轴上，点 $M (0 ， m)$ 是y轴正半轴上的一动点，且满足 $∠ M N C = 90^{°}$ .
①求m与n之间的函数关系式；

②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？

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