湖北省荆门市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $| - \sqrt{2} |$ 的平方是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、-2 D、2

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2. 据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为（）

A、 $0.826 \times 10^{10}$ B、 $8.26 \times 10^{9}$ C、 $8.26 \times 10^{8}$ D、 $82.6 \times 10^{8}$

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3. 如图，菱形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $A D$ ， $B D$ 的中点，若 $E F = 5$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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4. 下列等式中成立的是（）

A、 ${(- 3 x^{2} y)}^{3} = - 9 x^{6} y^{3}$ B、 $x^{2} = {(\frac{x + 1}{2})}^{2} - {(\frac{x - 1}{2})}^{2}$ C、 $\sqrt{2} \div (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 + \sqrt{6}$ D、 $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$

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5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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6. $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 120 ° ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，D为 $B C$ 的中点， $A E = \frac{1}{4} A B$ ，则 $△ E B D$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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7. 如图， $⊙ O$ 中， $O C ⊥ A B ， ∠ A P C = 28 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为（）

A、 $14 °$ B、 $28 °$ C、 $42 °$ D、 $56 °$

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8. 为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116这组数据的平均数和中位数分别为（）

A、95，99 B、94，99 C、94，90 D、95，108

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $R t △ A O B$ 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，将 $R t △ A O B$ 沿直线 $y = - x$ 翻折，得到 $R t △ A^{'} O B^{'}$ ，过 $A^{'}$ 作 $A^{'} C$ 垂直于 $O A^{'}$ 交y轴于点C，则点C的坐标为（）

A、 $(0 ， - 2 \sqrt{3})$ B、 $(0 ， - 3)$ C、 $(0 ， - 4)$ D、 $(0 ， - 4 \sqrt{3})$

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10. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过第四象限的点 $(1 ， - 1)$ ），则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个大于1的不相等实数根 B、有两个小于1的不相等实数根 C、有一个大于1另一个小于1的实数根 D、没有实数根

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11. 已知关于x的分式方程 $\frac{2 x + 3}{x - 2} = \frac{k}{(x - 2) (x + 3)} + 2$ 的解满足 $- 4 < x < - 1$ ，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）

A、正数 B、负数 C、零 D、无法确定

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12. 在平面直角坐标系中，长为2的线段 $C D$ （点D在点C右侧）在x轴上移动 $A (0 ， 2)$ ， $B (0 ， 4)$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，则 $A C + B D$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt{12} - 3 \tan 30 ° + {(π - 2020)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ .

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14. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0 (m > 0)$ 的一个根比另一个根大2，则m的值为.

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15. 如图所示的扇形 $A O B$ 中， $O A = O B = 2 ， ∠ A O B = 90 °$ ，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O C = 30 °$ ，连接 $B C$ ，过C作 $O A$ 的垂线交 $A O$ 于点D，则图中阴影部分的面积为.

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16. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A、C分别在x轴、y轴上， $B (- 2 ， 1)$ ，将 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到 $△ O E D$ ， $O E$ 交 $B C$ 于点G，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点G，则k的值为.

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线 $x = 1$ ，给出下列结论：① $a b c < 0$ ；②若点C的坐标为 $(1 ， 2)$ ，则 $△ A B C$ 的面积可以等于2；③ $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④若抛物线经过点 $(3 ， - 1)$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 的两根为 $- 1$ ，3其中正确结论的序号为.

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三、解答题

18. 先化简，再求值：
${(2 x + y)}^{2} + {(x + 2 y)}^{2} - x (x + y) - 2 (x + 2 y) (2 x + y)$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1 ， y = \sqrt{2} - 1$ .

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19. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于D， $A E / / B C$ 交 $B D$ 的延长线于点E， $A F ⊥ A B$ 交 $B E$ 于点F.

(1)、若 $∠ B A C = 40 °$ ，求 $∠ A F E$ 的度数；

(2)、若 $A D = D C = 2$ ，求 $A F$ 的长.

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20. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图.

根据图中信息解答下列问题：

(1)、求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；

(2)、补全条形统计图；

(3)、按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这 $(x + y + 2)$ 件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为 $\frac{3}{5}$ ，求x，y的值.

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21. 如图，海岛B在海岛A的北偏东 $30 °$ 方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东 $75 °$ 方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.

(1)、求 $∠ A B E$ 的度数；

(2)、求快艇的速度及C，E之间的距离.
（参考数据： $\sin 15^{°} \approx 0.26 ， \cos 15^{°} \approx 0.97 ， \tan 15^{°} \approx 0.27 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 如图， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A P$ 为 $⊙ O$ 的切线，M是 $A P$ 上一点，过点M的直线与 $⊙ O$ 交于点B，D两点，与 $A C$ 交于点E，连接 $A B ， A D ， A B$ $= B E$ .

(1)、求证： $A B = B M$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = \frac{24}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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23. 2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为 $p = {\begin{array}{l} \frac{2}{5} x + 4 & (0 < x ⩽ 20) \\ - \frac{1}{5} x + 12 & (20 < x ⩽ 30) \end{array}$ ，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示.

(1)、求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)、当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
（销售额=销售量×销售价格）

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24. 如图，抛物线 $L ： y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B.

(1)、求直线 $A B$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

(2)、如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴，垂足为C， $P C$ 交 $A B$ 于点D，求 $P D + B D$ 的最大值，并求出此时点P的坐标；

(3)、如图2，将抛物线 $L ： y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 向右平移得到抛物线 $L^{'}$ ，直线 $A B$ 与抛物线 $L^{'}$ 交于M，N两点，若点A是线段 $M N$ 的中点，求抛物线 $L^{'}$ 的解析式.

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