湖北省黄石市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 3的相反数是（）.

A、 $- 3$ B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $8 a - 3 b = 5 a b$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ D、 $a^{2} \cdot a = a^{3}$

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5. 函数 $y = \frac{1}{x - 3} + \sqrt{x - 2}$ 的自变量x的取值范围是（）

A、 $x \geq 2$ ，且 $x \neq 3$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \neq 3$ D、 $x > 2$ ，且 $x \neq 3$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < - 3 \\ 2 x + 9 \geq 3 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $- 3 \leq x < 3$ B、 $x > - 2$ C、 $- 3 \leq x < - 2$ D、 $x \leq - 3$

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7. 在平面直角坐标系中，点G的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，连接 $O G$ ，将线段 $O G$ 绕原点O旋转 $180 °$ ，得到对应线段 $O G^{'}$ ，则点 $G^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点H、E、F分别是边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 的中点，若 $E F + C H = 8$ ，则 $C H$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，点A、B、C在 $⊙ O$ 上， $C D ⊥ O A ， C E ⊥ O B$ ，垂足分别为D、E，若 $∠ D C E = 40 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $140 °$ B、 $70 °$ C、 $110 °$ D、 $80 °$

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10. 若二次函数 $y = a^{2} x^{2} - b x - c$ 的图象，过不同的六点 $A (- 1, n)$ 、 $B (5, n - 1)$ 、 $C (6, n + 1)$ 、 $D (\sqrt{2}, y_{1})$ 、 $E (2, y_{2})$ 、 $F (4, y_{3})$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - | 1 - \sqrt{2} | =$ .

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12. 因式分解： $m^{3} n - m n^{3} =$ .

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13. 据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目20个，总投资137.6亿元，用科学记数法表示137.6亿元，可写为元.

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14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩 $2 : 3 : 5$ 的比，计算学期成绩.小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是分.

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15. 如图，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作 $△ A B C$ 的外接圆，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长等于.

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16. 匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则 $∠ A D O$ 的度数是.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = 5$ .

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18. 如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 $A B$ 的楼顶，测量对面的乙栋楼房 $C D$ 的高度，已知甲栋楼房 $A B$ 与乙栋楼房 $C D$ 的水平距离 $A C = 18 \sqrt{3}$ 米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是 $30 °$ ，底部C点的俯角是 $45 °$ ，求乙栋楼房 $C D$ 的高度（结果保留根号）.

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19. 如图， $A B = A E ， A B / / D E ， ∠ D A B = 70 ° ， ∠ E = 40 °$ .

(1)、求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ，求证： $A D = B C$ .

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于 $A (1 ， a)$ 、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴.

(1)、求k的值；

(2)、以 $A B$ 、 $B C$ 为边作菱形 $A B C D$ ，求D点坐标.

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21. 已知：关于x的一元二次方程 $x^{2} + \sqrt{m} x - 2 = 0$ 有两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、设方程的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} - 17 = 0$ ，求m的值.

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22. 我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛.某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛.

(1)、请列举所有可能出现的选派结果；

(2)、求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率.

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23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)、求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)、若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，O为 $A B$ 上一点，经过点A、D的 $⊙ O$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点E、F.

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 8$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、求证： $A D^{2} = A B \cdot A F$ .

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + k x - 2 k$ 的顶点为N.

(1)、若此抛物线过点 $A (- 3 ， 1)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接 $A B$ ，C为抛物线上一点，且位于线段 $A B$ 的上方，过C作 $C D$ 垂直x轴于点D， $C D$ 交 $A B$ 于点E，若 $C E = E D$ ，求点C坐标；

(3)、已知点 $M (2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} ， 0)$ ，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当 $∠ M H N = 60 °$ 时，求抛物线的解析式.

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