甘肃省天水市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 下列四个实数中，是负数的是（）

A、 $- (- 3)$ B、 ${(- 2)}^{2}$ C、 $| - 4 |$ D、 $- \sqrt{5}$

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2. 天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（）

A、 $3.41 \times 10^{5}$ B、 $3.41 \times 10^{6}$ C、 $341 \times 10^{3}$ D、 $0.341 \times 10^{6}$

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3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（）

A、文 B、羲 C、弘 D、化

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4. 某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为（）

A、40，42 B、42，43 C、42，42 D、42，41

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5. 如图所示， $P A$ 、 $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于A、B两点，点C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，若 $∠ P = 70 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = a x + b$ 和 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 $B E$ 测量建筑物的高度，已知标杆 $B E$ 高 $1.5 m$ ，测得 $A B = 1.2 m$ ， $B C = 12.8 m$ ，则建筑物 $C D$ 的高是（）

A、 $17.5 m$ B、 $17 m$ C、 $16.5 m$ D、 $18 m$

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9. 若关于x的不等式 $3 x + a \leq 2$ 只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

A、 $- 7 < a < - 4$ B、 $- 7 \leq a \leq - 4$ C、 $- 7 \leq a < - 4$ D、 $- 7 < a \leq - 4$

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10. 观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ； $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ； $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ；…已知按一定规律排列的一组数： $2^{100} ， 2^{101} ， 2^{102} ， \dots ， 2^{199} ， 2^{200}$ ，若 $2^{100} = S$ ，用含S的式子表示这组数据的和是（）

A、 $2 S^{2} - S$ B、 $2 S^{2} + S$ C、 $2 S^{2} - 2 S$ D、 $2 S^{2} - 2 S - 2$

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二、填空题

11. 分解因式： $m^{3} n - m n =$ .

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12. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的根，则该三角形的周长为.

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13. 已知 $a + 2 b = \frac{10}{3}$ ， $3 a + 4 b = \frac{16}{3}$ ，则a+b的值为.

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14. 如图所示， $∠ A O B$ 是放置在正方形网格中的一个角，则 $\sin ∠ A O B$ 的值是.

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15. 如图所示，若用半径为8，圆心角为 $120 °$ 的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是.

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16. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．

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17. 如图，在边长为6的正方形 $A B C D$ 内作 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点F，连接 $E F$ ，将 $Δ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，若 $D F = 3$ ，则 $B E$ 的长为.

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三、解答题

18.

(1)、计算： $4 \sin 60^{°} - | \sqrt{3} - 2 | + 2020^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ .

(2)、先化简，再求值： $\frac{1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ .

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19. 为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.
请结合图中的信息，解决下列问题：

(1)、此次调查中接受调查的人数为人；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度；

(4)、该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.

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20. 如图所示，一次函数 $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A (- 2 ， a)$ 和点 $B (b ， - 1)$ ，过A点作x轴的垂线，垂足为点C， $△ A O C$ 的面积为4.

(1)、分别求出a和b的值；

(2)、结合图象直接写出 $m x + n > \frac{k}{x}$ 中x的取值范围；

(3)、在y轴上取点P，使 $P B - P A$ 取得最大值时，求出点P的坐标.

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21. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行30分钟后到达 $B$ 处，此时测得灯塔P在北偏东 $45 °$ 方向上.

(1)、求 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ )

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，点O在 $A B$ 上，以点O为圆心， $O A$ 为半径的圆恰好经过点D，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点E、F.

(1)、试判断直线 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 6$ ，求阴影部分的面积(结果保留 $π$ ).

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23.

(1)、性质探究
如图（1），在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ，则底边 $A B$ 与腰 $A C$ 的长度之比为.

(2)、理解运用
Ⅰ.若顶角为 $120 °$ 的等腰三角形的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，则它的面积为；

Ⅱ.如图（2），在四边形 $E F G H$ 中， $E F = E G = E H$ .在边 $F G$ ， $G H$ 上分别取中点 $M ， N$ ，连接 $M N$ .若 $∠ F G H = 120 °$ ， $E F = 20$ ，求线段 $M N$ 的长.

(3)、类比拓展
顶角为 $2 α$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含 $α$ 的式子表示)

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24. 天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

(1)、A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

(2)、商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)、“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠 $m (10 < m < 20)$ 元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

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25. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为 $A (- 2 ， 0)$ ，点C的坐标为 $C (0 ， 6)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ .点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 $m (1 < m < 4)$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ， $D C$ ， $D B$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $△ B C D$ 的面积等于 $Δ A O C$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ 时，求m的值；

(3)、在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点 $B ， D ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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