湖北省十堰市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-04 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $\frac{1}{4}$ 的倒数是（）

A、4 B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）

A、圆锥 B、圆柱 C、长方体 D、四棱柱

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3. 如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O.若 $∠ A O C = 130 °$ ，则 $∠ B O D =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a + a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(- a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$ D、 $(a - 2) (a + 2) = a^{2} - 4$

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5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：

鞋的尺码/ $cm$	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25
销售量双	1	2	5	11	7	3	1

若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（）

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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6. 已知 $▱ A B C D$ 中，下列条件：① $A B = B C$ ；② $A C = B D$ ；③ $A C ⊥ B D$ ；④ $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，其中能说明 $▱ A B C D$ 是矩形的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）

A、 $\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5 x} + 1$ B、 $\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5 x} - 1$ C、 $\frac{180}{x} = \frac{180}{1.5 x} + 2$ D、 $\frac{180}{x} = \frac{180}{1.5 x} - 2$

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8. 如图，点 $A ， B ， C ， D$ 在 $⊙ O$ 上， $O A ⊥ B C$ ，垂足为E.若 $∠ A D C = 30 °$ ， $A E = 1$ ，则 $B C =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则 $n =$ （）

A、17 B、18 C、19 D、20

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上，若 $∠ B A D = 120 °$ ，则 $| \frac{k_{1}}{k_{2}} | =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 已知 $x + 2 y = 3$ ，则 $1 + 2 x + 4 y =$ .

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线.若 $A E = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为13，则 $△ A B C$ 的周长为.

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13. 某校即将举行30周年校庆，拟定了 $A ， B ， C ， D$ 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图.若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为.

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14. 对于实数 $m ， n$ ，定义运算 $m * n = {(m + 2)}^{2} - 2 n$ .若 $2 * a = 4 * (- 3)$ ，则 $a =$ .

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15. 如图，圆心角为 $90 °$ 的扇形 $A C B$ 内，以 $B C$ 为直径作半圆，连接 $A B$ .若阴影部分的面积为 $(π - 1)$ ，则 $A C =$ .

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16. 如图，D是等边三角形 $A B C$ 外一点.若 $B D = 8 ， C D = 6$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值与最小值的差为.

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | + 2020^{0}$ .

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18. 先化简，再求值： $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3 ， b = 3$ .

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19. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $α$ 一般要满足 $50^{°} ⩽ α \leq 75^{°}$ ，现有一架长为 $6m$ 的梯子，当梯子底端离墙面 $2m$ 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据： $\sin 50^{°} \approx 0.77 ， \cos 50^{°} \approx 0.64$ ， $\sin 75^{°} \approx 0.97 ， \cos 75^{°} = 0.26$ ）？

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20. 某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同.

(1)、小文诵读《长征》的概率是；

(2)、请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率.

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 k + 8 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} = 24$ ，求k的值.

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22. 如图， $A B$ 为半圆O的直径，C为半圆O上一点， $A D$ 与过点C的切线垂直，垂足为D， $A D$ 交半圆O于点E.

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $A E = 2 D E$ ，试判断以 $O ， A ， E ， C$ 为顶点的四边形的形状，并说明理由.

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23. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台.若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示.

(1)、若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为， x的取值范围为；

(2)、第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？

(3)、求当天销售利润低于10800元的天数.

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24. 如图1，已知 $△ A B C ≌ △ E B D$ ， $∠ A C B = ∠ E D B = 90 °$ ，点D在 $A B$ 上，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F.

(1)、猜想：线段 $A F$ 与 $E F$ 的数量关系为；

(2)、探究：若将图1的 $△ E B D$ 绕点B顺时针方向旋转，当 $∠ C B E$ 小于 $180 °$ 时，得到图2，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展：图1中，过点E作 $E G ⊥ C B$ ，垂足为点G.当 $∠ A B C$ 的大小发生变化，其它条件不变时，若 $∠ E B G = ∠ B A E$ ， $B C = 6$ ，直接写出 $A B$ 的长.

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $C (0 ， 3)$ ，与x轴交于另一点B，顶点为D.

(1)、求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)、如图1，E为线段 $B C$ 上方的抛物线上一点， $E F ⊥ B C$ ，垂足为F， $E M ⊥ x$ 轴，垂足为M，交 $B C$ 于点G.当 $B G = C F$ 时，求 $△ E F G$ 的面积；

(3)、如图2， $A C$ 与 $B D$ 的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 $∠ O P B = ∠ A H B$ ？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

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