2021高考一轮复习第十三讲定积分与微积分基本定理

试卷更新日期：2020-08-02 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 $O L$ 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 $O K L$ 时，表示收入完全不平等记区域 $A$ 为不平等区域，a表示其面积，S为 $△ O K L$ 的面积．将 $G i n i = \frac{a}{S}$ ，称为基尼系数．对于下列说法：

① $G i n i$ 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 $y = f (x)$ ，则对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，均有 $\frac{f (x)}{x} > 1$ ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{2} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{4}$ ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{3} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{2}$ ．其中不正确的是：（）

A、①④ B、②③ C、①③④ D、①②④

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2. 定积分 $\int_{0}^{1} 2 x d x =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3. 曲线 $y^{2} = x ， y = x^{2}$ 所围成图形的面积是（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 若 $a = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ ，则函数 $f (x) = a x + e^{x - 1}$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x + y = 0$ C、 $x - 2 y = 0$ D、 $x + 2 y = 0$

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5. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \in [0 ， 1] ， \\ \frac{1}{x} ， x \in (1 ， e] \end{array}$ （其中为自然对数的底数），则 $\int_{0}^{e} f (x) d x$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、

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6. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 - x ， x \leq 0 ， \\ \sqrt{4 - x^{2}} ， 0 < x \leq 2 ， \end{matrix}$ ，则 $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ 的值为（）

A、 $π + 6$ B、 $π - 2$ C、 $2 π$ D、 $8$

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7. 曲线 $C_{1} ： y = x^{2}$ ， $C_{2} ： y = x^{2} - 4 x$ 以及直线 $l ： x = 2$ 所围成封闭图形的面积为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $8$

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8. 定积分 $\int_{- 2}^{2} (\sqrt{4 - x^{2}} - \sin x + x^{3}) d x$ 的值是（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $2π+2cos2$ D、 $π+2cos2$

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9. 如图，阴影部分的面积是（）

A、 $e + \frac{1}{e}$ B、 $e + \frac{1}{e} - 1$ C、 $e + \frac{1}{e} - 2$ D、 $e - \frac{1}{e}$

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10. $S_{1} = \int_{1}^{2} x^{2} d x ， S_{2} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x ， S_{3} = \int_{1}^{2} e^{x} d x ，$ 若，则s₁ ， s₂ ， s₃的大小关系为（）

A、s₁＜s₂＜s₃ B、s₂＜s₁＜s₃ C、s₂＜s₃＜s₁ D、s₃＜s₂＜s₁

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二、填空题

11. 已知 $n = \frac{8}{π} \int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} - 2 x) d x$ ，则 $x {(1 - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中的常数项为．

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12. $\int_{0}^{2} (3 x^{2} + k) d x = 10$ ，则k=

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13. 如图，阴影部分是由曲线 $y = 2 x^{2}$ 和 $x^{2} + y^{2} = 3$ 及 $x$ 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为.

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14. 关于曲线C： $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 1$ ，给出下列五个命题：
①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C关于点 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$ 对称；③曲线C上的点到原点距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ；④当 $x \neq 0 且 x \neq 1$ 时，曲线C上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 $\frac{1}{6}$ .上述命题中，为真命题的是.（将所有真命题的编号填在横线上）

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x)$ 为一次函数，若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， 2)$ ，且 $\int_{0}^{2} f (x) d x = 6$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式.

(2)、若函数 $g (x) = x^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象围成图形的面积.

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2021高考一轮复习 第十三讲 定积分与微积分基本定理

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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