人教新课标A版必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系

试卷更新日期：2020-07-31 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列几何图形中，可能不是平面图形的是（）

A、梯形 B、菱形 C、平行四边形 D、四边形

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2. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset α$ ，则（）

A、 $l ⊥ m$ B、 $l ∥ m$ C、 $l ， m$ 异面 D、 $l ， m$ 相交而不垂直

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D_{1}$ 与 $B_{1} C$ 是（）

A、相交直线 B、平行直线 C、异面直线 D、相交且垂直的直线

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4. 已知 $α, β, γ$ 平面两两垂直，直线 $a 、 b 、 c$ 满足： $a \subseteq α, b \subseteq β, c \subseteq γ$ ，则直线 $a 、 b 、 c$ 不可能满足以下哪种关系（）

A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是空间内两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n // α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $α \cap β = m$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α // β$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 3 ， A A_{1} = A B = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 $A C D_{1}$ 平行的是（）

A、直线 $E F$ B、直线 $G H$ C、直线 $E H$ D、直线 $A_{1} B$

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8. 如图，在以下四个正方体中，使得直线 $A B$ 与平面 $C D E$ 垂直的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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10. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）

A、20° B、40° C、50° D、90°

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11. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $A B = 4 ， A A_{1} = 8$ .若 $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1} ， C C$ 上的点，且 $B E = B_{1} E$ ， $C_{1} F = \frac{1}{4} C C_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{10}$

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12. 在棱长均相等的正三棱柱 $A B C = A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 在 $A C_{1}$ 上，且 $D F ⊥ A C_{1}$ ，则下述结论：① $A C_{1} ⊥ B C$ ；② $A F = F C_{1}$ ；③平面 $D A C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ：④异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D$ 所成角为 $60 °$ 其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

13. 如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（）

A、若AB $//$ CD，则MN $//$ l B、若M，N重合，则AC $//$ l C、若AB与CD相交，且AC $//$ l，则BD可以与l相交 D、若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行

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14. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是 $A B ， B C ， C D ， D A$ 上的点，当 $B D / /$ 平面 $E F G H$ 时，下面结论正确的是（）

A、 $E ， F ， G ， H$ 一定是各边的中点 B、 $G ， H$ 一定是 $C D ， D A$ 的中点 C、 $A E ： E B = A H ： H D$ ，且 $B F ： F C = D G ： G C$ D、四边形 $E F G H$ 是平行四边形或梯形

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15. 如图所示，P为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 $O ， M$ 为 $P B$ 的中点，给出以下结论，其中正确的是（）

A、 $O M / / P D$ B、 $O M / /$ 平面 $P C D$ C、 $O M / /$ 平面 $P D A$ D、 $O M / /$ 平面 $P B A$

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16. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{2} A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，异面直 $A B_{1}$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为 $m$ ，则（）

A、 $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、直线 $A_{1} E$ 与直线 $C_{1} F$ 共面 C、 $m = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、直线 $A_{1} E$ 与直线 $C_{1} F$ 异面

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三、填空题

17. 若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $a \subset α$ ，则 $l$ 与 $a$ 的位置关系是

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18. 下列说法中正确的有个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；

②一个平行四边形确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④已知两个不同的平面 $α$ 和 $β$ ，若 $A \in α$ ， $A \in β$ ，且 $α \cap β = l$ ，则点A在直线 $l$ 上.

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19. 如图所示，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁的中点，则异面直线EF与B₁D₁所成的角为.

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20. 如图，已知圆柱的轴截面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，C是圆柱下底面弧 $A B$ 的中点， $C_{1}$ 是圆柱上底面弧 $A_{1} B_{1}$ 的中点，那么异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的正切值为.

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四、解答题

21. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ，M，N分别是线段 $P A$ 、 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ ∥平面 $A B C D$ ；

(2)、求异面直线MN与BC所成角的大小.

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22. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．证明：

(1)、当 $A B = B C$ 时， $E F ⊥ A C$ ；

(2)、点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

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23. 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

(1)、求证：EF∥平面AB₁C₁；

(2)、求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁ ．

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24. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $P C D ， A D / / B C ， A B = B C = \frac{1}{2} A D ， E ， F$ 分别为线段 $A D ， P C$ 的中点.

(1)、求证： $A P / /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A C$

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25. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P A C$ 和 $Δ P B C$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形， $A B = 2$ ， $O ， D$ 分别是 $A B ， P B$ 的中点.

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求证： $O P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(3)、求三棱锥 $D - A B C$ 的体积.

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26. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B = B C = 2$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} B$ 所成角的大小；

(3)、点 $M$ 在线段 $B_{1} C$ 上，且 $\frac{B_{1} M}{B_{1} C} = λ (λ \in (0 ， 1))$ ，点 $N$ 在线段 $A_{1} B$ 上，若 $M N ∥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，求 $\frac{A_{1} N}{A_{1} B}$ 的值（用含 $λ$ 的代数式表示）.

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人教新课标A版 必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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