人教新课标A版必修二 2.3直线、平面垂直的判定及其性质

试卷更新日期：2020-07-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset α$ ，则（）

A、 $l ⊥ m$ B、 $l ∥ m$ C、 $l ， m$ 异面 D、 $l ， m$ 相交而不垂直

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2. 已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（）

A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD C、平面ABC⊥平面BDC D、平面ABC⊥平面ADB

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3. 如图，在以下四个正方体中，使得直线 $A B$ 与平面 $C D E$ 垂直的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $S D ⊥ 底面 A B C D$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $A C ⊥ S B$ B、 $A D ⊥ S C$ C、平面 $S A C ⊥$ 平面 $S B D$ D、 $B D ⊥ S A$

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5. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作 $P O ⊥$ 面ABC，垂足为O，则点O是 $Δ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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6. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点， $P A ⊥$ 平面ABC，则四面体 $P ﹣ A B C$ 的四个面中，直角三角形的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 已知 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，下列命题中：
①若 $α \cap β = a ， β \cap γ = b$ ，且 $a$ ∥ $b$ ，则 $α$ ∥ $γ$ ；②若 $a ， b$ 相交，且都在 $α ， β$ 外， $a // α$ ， $a$ ∥ $β$ ， $b // α$ ， $b$ ∥ $β$ ，则 $α$ ∥ $β$ ；③若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = a$ ， $b \subset β$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$ ；④若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ，则 $l ⊥ α$ .其中正确命题的序号是（）

A、①②③ B、①③ C、②③ D、①②③④

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8. 如图所示，在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $E ， F$ 分别是 $G_{1} G_{2} ， G_{2} G_{3}$ 的中点，现在沿 $S E ， S F ， E F$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1} ， G_{2} ， G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$ .给出下列关系：
① $S G ⊥$ 平面 $E F G$ ；② $S E ⊥$ 平面 $E F G$ ；③ $G F ⊥ S E$ ；④ $E F ⊥$ 上平面 $S E G$ .其中关系成立的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、③④

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9. 如图， $A C = 2 R$ 为圆 $O$ 的直径， $∠ P C A = 45^{\circ}$ ， $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $B$ 为圆周上不与点 $A$ 、 $C$ 重合的点， $A S ⊥ P C$ 于 $S$ ， $A N ⊥ P B$ 于 $N$ ，则下列不正确的是（）

A、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P B C$ B、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P A C$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $B C ， C D$ 的中点， $G$ 是 $E F$ 的中点.现在沿 $A E ， A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形，使 $B ， C ， D$ 三点重合，重合后的点记为 $H$ ，下列说法：

① $A G ⊥$ 平面 $E F H$ ；② $A H ⊥$ 平面 $E F H$ ；

③ $H F ⊥$ 平面 $A E H$ ；④ $H G ⊥$ 平面 $A E F$ .

其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图，已知 $Δ A B C$ 是顶角为 $C = 120^{°}$ 的等腰三角形，且 $A C = 2$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.将 $Δ A C D$ 沿 $C D$ 折起，使得 $A C ⊥ B C$ ，则此时直线 $B C$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 正四面体 $A B C D$ 的棱 $A D$ 与平面 $α$ 所成角为 $θ$ ，其中 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 在平面 $α$ 内，则当四面体 $A B C D$ 转动时（）

A、存在某个位置使得，也存在某个位置使得 B、存在某个位置使得，但不存在某个位置使得 C、不存在某个位置使得，但存在某个位置使得 D、既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得

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二、填空题

13. 如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有个直角三角形．

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14. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形，侧棱 $P A = a$ ， $P B = P D = \sqrt{2} a$ ，则它的5个面中，互相垂直的面有对.

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15. 如图甲所示，在直角 $Δ A B C$ 中， $A C ⊥ A B ， A D ⊥ B C$ ， $D$ 是垂足，则有 $A B^{2} = B D \cdot B C$ ，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ， $O$ 为垂足，且 $O$ 在 $Δ B C D$ 内，类比直角三角形中的射影定理，则有．

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16. 如图，在棱长为1的正方体 $A C_{1}$ 中，点E、F是棱 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点，P是底面 $A B C D$ 上（含边界）一动点，满足 $A_{1} P ⊥ E F$ ，则线段 $A_{1} P$ 长度的最小值为.

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三、解答题

17. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC．

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18. 如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= $\sqrt{2}$ AD，E，F分别为棱AB，A₁D₁的中点

(1)、求证：平面EFC⊥平面BB₁D；

(2)、请在答题卡图形中画出直线DB₁与平面EFC的交点O(保留必要的辅助线)，写出画法并计算 $\frac{D O}{O B_{1}}$ 的值(不必写出计算过程)

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19. 图1是由矩形ADEB、 $Rt △$ ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB ， BC折起使得BE与BF重合，连结DG ，如图2.

(1)、证明图2中的A ， C ， G ， D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)、求图2中的四边形ACGD的面积.

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 所在的平面与 $△ C D E$ 所在的平面相交于 $C D$ ， $A E$ ⊥平面 $C D E$ ，且 $A E = 3 ， A B = 6$ ．

(1)、求证： $A B$ ⊥平面 $A D E$ ；

(2)、求 $E$ 到正方形 $A B C D$ 所在平面的距离．

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21. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ $\sqrt{3}$ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

(1)、求证：BC⊥面CDE；

(2)、在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点， $C F ： F C_{1} = 1 ： 2$ .

(1)、求证： $B_{1} D_{1} ⊥ A F_{1}$ ；

(2)、若直线 $A F_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，试确定点 $E$ 的位置，并证明你的结论；

(3)、设点 $P$ 在正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动，求总能使 $B P$ 与 $A_{1} F$ 垂直的点 $P$ 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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