人教新课标A版必修二 1.3空间几何体的表面积与体积

试卷更新日期：2020-07-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 一个正四棱锥的底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ ，则该正四棱锥的全面积为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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2. 已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 如果两个球的体积之比为 $27 : 8$ ，那么两个球的半径之比为（）

A、 $8 : 27$ B、 $2 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $2 : 9$

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4. 若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $144 π$

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5. 已知正方体外接球的体积是 $\frac{32}{3}$ π，那么正方体的棱长等于（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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6. 已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、π B、2π C、6π D、12π

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7. 已知高为3的棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 $B - A B_{1} C$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8. 在四面体 $A - B C D$ 中，棱 $A B = \sqrt{3}$ ，其余各条棱长均为2，则四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{52 π}{9}$ B、 $\frac{25 π}{9}$ C、 $\frac{25 π}{36}$ D、 $\frac{13 π}{9}$

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（　　　）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $3$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{20}{3}$

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10. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为DC中点，F在线段 $D_{1} C_{1}$ 上运动，则三棱锥 $F - A D E$ 的外接球的表面积最小值为（）

A、 $14 π$ B、 $9 π$ C、 $\frac{545}{64} π$ D、 $\frac{525}{64} π$

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11. 在高为 $\sqrt{3}$ 的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 的边长为2， $D$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若一只蚂蚁从点 $A$ 沿表面爬向点 $D$ ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、2

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12. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A C ⊥ B C$ ，若 $A A_{1} = A B = 1$ ，当“阳马”即四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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二、填空题

13. 已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 $2 c m$ ，则该棱锥的体积为 $c m^{3}$ .

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14. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

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15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为棱 $D D_{1}$ 上的点， $F$ 为AB的中点，则三棱锥 $B_{1} - B F E$ 的体积为.

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三、解答题

17. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{6}$ ，

(1)、求这个长方体的对角线长。

(2)、求这个长方体的的体积

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18. 底面边长为2的正三棱锥 $P - A B C$ ，其表面展开图是三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图，求△ $P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ .

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19.

(1)、某圆锥的侧面展开图为圆心角为 $120 °$ ，面积为 $3 π$ 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.

(2)、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为 $\sqrt{6}$ 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 $12 π$ ，求该三棱柱的体积.

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20. 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a ，连接A′C′，A′D ， A′B ， BD ， BC′，C′D ，得到一个三棱锥.求：

(1)、三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)、三棱锥A′－BC′D的体积.

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21. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？

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22. 从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的直观图中分离出来的．

（Ⅰ）求直观图中 $Δ A_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积；

（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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