辽宁省鞍山市立山区2020年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2020-07-30 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. $m 、 n$ 是方程 $x^{2} - 2019 x + 2020 = 0$ 的两根， $(m^{2} - 2020 m + 2020) \cdot (n^{2} - 2020 n + 2020)$ 的值是（）

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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3. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、4 C、4 $\sqrt{2}$ D、8 $\sqrt{2}$

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4. 如图，已知，第一象限内的点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，第四象限内的点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．且 $O A ⊥ O B$ ， $∠ O A B = 60 °$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、6 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、-6

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5.
如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）

A、3 ：4 B、5 ：8 C、9 ：16 D、1 ：2

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6. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，则（）

A、a＞0且4a+b=0 B、a＜0且4a+b=0 C、a＞0且2a+b=0 D、a＜0且2a+b=0

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7. 如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为（）

A、 $\frac{3}{5}$ π B、 $\frac{3}{4}$ π C、 $\frac{4}{5}$ π D、 $\frac{2}{3}$ π

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 c m$ ，动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $A$ 出发，在正方形的边上，分别按 $A \to D \to C$ ， $A \to B \to C$ 的方向，都以 $1 c m / s$ 的速度运动，到达点 $C$ 运动终止，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $x s$ ， $Δ A P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，则下列图象中能大致表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 $A ， B ， C$ 在格点上，则 $∠ A B C$ 的正切值是.

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10. 如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x - 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，以点 $P$ 为圆心，以1个单位长度为半径作 $⊙ P$ ，当 $⊙ P$ 与直线 $A B$ 相切时，点 $P$ 的坐标是．

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11. 如图，反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} 和 y = \frac{k_{2}}{x} (k_{1} < k_{2})$ 在第一象限内的图象，直线AB//x轴，并分别交两条曲线A、B两点，若S_△_AOB=2，则k₂-k₁的值为．

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12. 若二次函数 $y = m x^{2} + (m - 2) x + m$ 的顶点在x轴上，则 $m =$ .

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13. 抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ .若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + 3 - t = 0 （ t 为实数）$ 在 $-1 < x < 4$ 的范围内有实数根，则t的取值范围是.

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14. 如图，直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 是 $y$ 轴上的一个动点，当 $Δ P A B$ 的周长最小时， $S_{Δ P A B} =$ ．

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15. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线 $y = x^{2} + (2 m - 1) x + 2 m - 4$ 与 $y = x^{2} - (3 m + n) x + n$ 关于 $y$ 轴对称，则符合条件的 $m =$ ； $n =$ .

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16. 如图，过点 $A_{0} (0 ， 1)$ 作y轴的垂线交直线 $L ︰ y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作直线L的垂线，交y轴于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作y轴的垂线交直线L于点 $A_{3}$ …，这样依次下去，得到 $△ A_{0} A_{1} A_{2} ， △ A_{2} A_{3} A_{4} ， △ A_{4} A_{5} A_{6}$ ，…，其面积分别记为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，…，则 $S_{100}$ 为.

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三、解答题

17. 计算： $t a n 30 ° + s i n 60 ° \cdot c o s 30 ° - t a n 45 ° + {(c o s 45 °)}^{- 1}$

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18. 双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数，且 $k \neq 0$ ）与直线 $y = - 2 x + b$ 交于 $A (- \frac{1}{2} m ， m - 2) ， B (1 ， n)$ 两点.

(1)、求k与b的值；

(2)、如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积.

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19. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.

(1)、求进馆人次的月平均增长率；

(2)、因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.

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20. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

(1)、求证：AC²=AB•AD；

(2)、求证：CE∥AD；

(3)、若AD=4，AB=6，求 $\frac{A C}{A F}$ 的值．

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21. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60 $c m$ ，宽40 $c m$ ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.

(1)、若丝绸花边的面积(阴影面积)为650 $c m^{2}$ ，求丝绸花边的宽度；

(2)、已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天还需支付各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少.

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22. 如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 $A$ 处，测得起点拱门 $C D$ 的顶部 $C$ 的俯角为 $35 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $45 °$ ，如果 $A$ 处离地面的高度 $A B = 20$ 米，求起点拱门 $C D$ 的高度，(结果精确到； $1 m$ ，参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.57 ， c o s 35 ° \approx 0.82 ， t a n 35 ° \approx 0.70$ )

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23. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，点 $P$ 在 $A B$ 的延长线上，点 $C$ 在⊙ $O$ 上，且 $P C^{2} = P B \cdot P A$ ．

(1)、求证： $P C$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、已知 $P C = 20$ ， $P B = 10$ ，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $E F$ 的长．

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24. 一连锁店销售某品牌商品，该商品的进价是60元．因为是新店开业，所以连锁店决定当月前10天进行试营业活动，活动期间该商品的售价为每件80元，据调查研究发现：当天销售件数 $y_{1}$ （件）和时间第x（天）的关系式为 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ ( $1 \leq x \leq 10$ )，已知第4天销售件数是40件，第6天销售件数是44件．活动结束后，连锁店重新制定该商品的销售价格为每件100元，每天销售的件数也发生变化：当天销售数量 $y_{2}$ （件）与时间第x（天）的关系为： $y_{2} = 2 x + 8$ （ $11 \leq x \leq 31$ ）．

(1)、求 $y_{1}$ 关于x的函数关系式；

(2)、若某天的日毛利润是1120元，求x的值；

(3)、因为该连锁店是新店开业，所以试营业结束后，厂家给这个连锁店相应的优惠政策：当这个连锁店日销售量达到60件后（不含60），每多销售1件产品，当日销售的所有商品进价减少2元，设该店日销售量超过60件的毛利润总额为W，请直接写出W关于x的函数解析式，及自变量x的取值范围：．

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D ， E$ 分别是 $A C ， B C$ 的中点，连接 $D E$ .

(1)、探索发现：

图1中， $\frac{A B}{B C}$ 的值为； $\frac{A D}{B E}$ 的值为；

(2)、拓展探究
若将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转一周，在旋转过程中 $\frac{A D}{B E}$ 的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；

(3)、问题解决
当 $△ C D E$ 旋转至 $A ， D ， E$ 三点在同一直线时，直接写出线段 $B E$ 的长.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ .

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值.

(3)、过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.

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