人教新课标A版必修一第三章函数的应用

试卷更新日期：2020-07-30 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = x^{2} - 3 x + 2$ 的零点是（）

A、1，2 B、-1，-2 C、（1，0）、（2，0） D、（-1，0）、（-2，0）

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2. 方程 $\lg x + 2 x = 3$ 的解所在区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{e} < a < 1$ C、 $\frac{1}{e} - 1 < a < 1$ D、 $\frac{1}{e} + 1 < a < 1$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (1 - x) ， & x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 x ， & x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f [f (x)] - 1$ 的零点个数为（）

A、4 B、7 C、8 D、9

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5. 函数 $f (x) = x^{3} - {(\frac{1}{2})}^{x - 2}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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6. 根据表中的数据，可以断定方程 $e^{x} - x - 2 = 0$ 的一个根所在的区间是（）

x

-1

0

1

2

3

$e^{x}$

0.37

1

2.72

7.39

20.09

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 2)$

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7. 若定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则函数 $h (x) = f (x) - \log_{5} | x |$ 的零点个数是（）．

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1}, x < 2, \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2, \end{array}$ 若 $f (a) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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9. 池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）

A、第 $15$ 天 B、第 $20$ 天 C、第 $25$ 天 D、第 $29$ 天

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10. 若函数 $f (x) = \log_{3} x + x - 3$ 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：

$f (2) = - 0.3691$

$f (2.5) = 0.3340$

$f (2.25) = - 0.0119$

$f (2.375) = 0.1624$

$f (2.3125) = 0.0756$

$f (2.28125) = 0.0319$

那么方程 $\log_{3} x + x - 3 = 0$ 的一个近似根（精确度0.1）为（）．

A、 $2.1$ B、 $2.2$ C、 $2.3$ D、 $2.4$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 & x > 0 \\ - x^{2} - 2 x & x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、(0， $\frac{1}{2}$ ) B、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、（0，1）

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12. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额

折扣率

不超过500元的部分

$5 %$

超过500元的部分

$10 %$

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为 $($ $)$

A、1500元 B、1550元 C、1750元 D、1800元

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二、填空题

13. 设 $[t]$ 表示不超过实数 $t$ 的最大整数(如 $[- 1.3] = - 2$ ， $[2.6] = 2$ )，则函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - [x]$ 的零点个数为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 有四个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 1 (x \leq 0) \\ x (x > 0) \end{array}$ ，则不等式 $x f (x) - x \leq 2$ 的解集为.

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16. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 $y (m g / m^{3})$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系为 $y = {\begin{matrix} k t ， & 0 < t < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{k t} ， & t \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$ （如图所示），实验表明，当药物释放量 $y < 0.75 (m g / m^{3})$ 对人体无害. （1） $k =$ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

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三、解答题

17. 已知函数f(x)＝－x²－2x，g(x)＝ ${\begin{matrix} x + \frac{1}{4 x}, x > 0 \\ x + 1, x \leq 0 \end{matrix}$

(1)、求g[f(1)]的值；

(2)、若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

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18.

(1)、 $m$ 为何值时， $f (x) ＝ x^{2} + 2 m x + 3 m + 4$ .①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)、若函数 $f (x) ＝ | 4 x － x^{2} | + a$ 有4个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润 $y$ （单位：万元）与相应月份数 $x$ 的部分数据如表：

$x$

1

4

7

12

$y$

229

244

241

196

(1)、根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述 $y$ 与 $x$ 的变化关系，并说明理由， $y = a x^{3} + b$ ， $y = - x^{2} + a x + b$ ， $y = a \cdot b^{x}$ ；

(2)、利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.

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20. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本 $y$ （单位：万元）与日产量 $x$ （单位：吨）之间的函数关系式为 $y = 2 x^{2} + (15 - 4 k) x + 120 k + 8$ ，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为 $k$ 万元，除尘后当日产量 $x = 1$ 时，总成本 $y = 142$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

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21. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长 $.$ 记2009年为第1年，且前4年中，第x年与年产量 $f (x) ($ 万件 $)$ 之间的关系如表所示：

x

1

2

3

4

$f (x)$

$4.00$

$5.58$

$7.00$

$8.4$

若 $f (x)$ 近似符合以下三种函数模型之一： $f (x) = a x + b, f (x) = 2^{x} + a, f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} x + a$ ．

(1)、找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式 $($ 所求a或b值保留1位小数 $)$ ；

(2)、因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少 $30 %$ ，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．

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22. 中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 $160 m$ ，其中心 $O$ 距地面 $O B = \frac{167}{2} m$ ，半径为 $O C = \frac{153}{2} m$ ，若某人从最低点 $D$ 处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的距离将随时间 $t$ 变化， $t = 15 min$ 后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.

(1)、求出人与地面距离y与时间t的函数解析式；

(2)、从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于 $\frac{181}{4} m$ .

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$f (2) = - 0.3691$	$f (2.5) = 0.3340$
$f (2.25) = - 0.0119$	$f (2.375) = 0.1624$
$f (2.3125) = 0.0756$	$f (2.28125) = 0.0319$

可以享受折扣优惠金额	折扣率
不超过500元的部分	$5 %$
超过500元的部分	$10 %$

x	-1	0	1	2	3
$e^{x}$	0.37	1	2.72	7.39	20.09

$x$	1	4	7	12
$y$	229	244	241	196

x	1	2	3	4
$f (x)$	$4.00$	$5.58$	$7.00$	$8.4$

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二、填空题

三、解答题

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