江苏省常熟市2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-07-30 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列四个实数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、－2 D、 $\sqrt{4}$

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2. 若代数式 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq 3$ D、 $x > 3$

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3. 据统计，2019年末我市常住人口约为1519000人，将1519000用科学记数法表示为（）

A、 $1519 \times 10^{3}$ B、 $15.19 \times 10^{5}$ C、 $1.519 \times 10^{6}$ D、 $0.1519 \times 10^{7}$

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4. 如图， $A B // C D$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，若 $∠ A = 110 °$ ， $∠ D = 36 °$ ，则 $∠ A E D$ 等于（）

A、70° B、106° C、110° D、146°

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点C是 $B D$ 的中点， $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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6. 若一次函数 $y = k x + 3$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图像经过点（－2，0），则关于x的方程 $k (x - 5) + 3 = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 5$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 3$ D、 $x = 5$

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7. 九年级（1）班25名女同学进行排球垫球，每人只测一次，测试结果统计如下表：

排球垫球（次）	8	12	20	23	24	26	32	36
人数	1	1	2	4	7	6	3	1

这25名女同学排球垫球次数的众数和中位数分别是（）

A、24，26 B、36，23.5 C、24，23.5 D、24，24

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形， $∠ B D C$ 的平分线交 $A B$ 延长线于点 $E$ ，若 $A D = 4$ ， $A E = 10$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、4.2 B、4.5 C、5.2 D、5.5

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9. 一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达 $B$ 处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）

A、 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 海里、15海里 B、 $(15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{2})$ 海里、15海里 C、 $(15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{2})$ 海里、 $15 \sqrt{2}$ 海里 D、 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 海里、 $15 \sqrt{2}$ 海里

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D在 $A B$ 的延长线上，且 $B D = A B$ ，连接 $D C$ 并延长，作 $A E ⊥ C D$ 于 $E$ ，若 $A E = 4$ ，则△ $B C D$ 的面积为（）

A、8 B、10 C、 $8 \sqrt{2}$ D、16

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二、填空题

11. 计算： ${(a^{2})}^{3}$ ＝．

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12. 因式分解：a²-9=.

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则c的值是.

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14. 若 $4 a + b = 5$ ， $- 2 a + b = 3$ ，则a+b的值为.

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15. 以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是.

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，以点A为圆心， $A B$ 为半径的圆与 $C D$ 相切于点E，交 $A D$ 于点F.用扇形 $A B F$ 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为.

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17. 甲、乙两列火车分别从A、B两地出发相向而行，他们距B地的路程 $s$ （ $km$ ）与甲行驶的时间 $t$ （h）的函数关系如图所示，那么乙火车的速度是 $km ⁄ h$ .

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 24$ ，点D在 $B C$ 上（ $B D > A D$ ），将 $Δ A C D$ 沿 $A D$ 翻折，得到 $Δ A E D$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点F.当 $D E ⊥ B C$ 时， $\tan ∠ C B E$ 的值为.

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三、解答题

19. 计算： $2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(\sqrt{3})}^{2} + {(3 - π)}^{0}$ .

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x + 1 > 3 x - 1 \\ \frac{4 x - 1}{3} - 1 \leq x \end{array}$

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21. 先化简，再求值： $\frac{x - 4}{x^{2} + 4 x + 4} \div (x - 2 - \frac{x^{2} - x}{x + 2})$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 2$ .

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A D // B C$ ， $B C = B D$ ， $C E ⊥ B D$ ，垂足为E.

(1)、求证： $△ A B D ≅ △ E C B$ ；

(2)、若 $A D = 4$ ， $C E = 3$ ，求 $C D$ 的长.

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23. 初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类.其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图.
“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图 “垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图

根据以上信息解决下列问题：

(1)、初三（1）班参加这次调查的学生有人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为°；

(2)、求出类别B的学生数，并补全条形统计图；

(3)、类别 $A$ 的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

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24. 某公司销售甲、乙两种品牌的投影仪，这两种投影仪的进价和售价如下表所示：

甲

乙

进价（元/套）

3000

2400

售价（元/套）

3300

2800

该公司计划购进两种投影仪若干套，共需66000元，全部销售后可获毛利润9000元.

(1)、该公司计划购进甲、乙两种品牌的投影仪各多少套？

(2)、通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少甲种投影仪的购进数量，增加乙种投影仪的购进数量，已知乙种投影仪增加的数量是甲种投影仪减少的数量的2倍。若用于购进这两种投影仪的总资金不超过75000元，问甲种投影仪购进数量至多减少多少套？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线 $y = \frac{3}{2} x$ 位于第一象限的图像上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过点D，交 $B C$ 于点E， $A B = 4$ .

(1)、如果 $B C = 6$ ，求点E的坐标；

(2)、连接 $D E$ ，当 $D E ⊥ O D$ 时，求点D的坐标.

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26. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是弦，点E在圆外， $O E ⊥ A C$ 于 $D$ ， $B E$ 交 $⊙ O$ 于点F，连接 $B D$ ， $B C$ ， $C F$ ， $∠ B F C = ∠ A E D$ .

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $Δ B O D \sim Δ E O B$ ；

(3)、设 $Δ B O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ B C F$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\tan ∠ O D B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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27. 如图①， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D从点A出发沿 $A \to C$ 方向匀速运动，速度为1 $cm / s$ 点E是 $A C$ 上位于点D右侧的动点，点M是 $A B$ 上的动点，在运动过程中始终保持 $M D = M E$ ， $D E = 2$ cm.过M作 $M N / / A C$ 交 $B C$ 于N，当点R与点C重合时点D停止运动.设 $Δ M D E$ 的面积为 $S ({cm}^{2})$ ，点D的运动时间为 $t (s)$ ，S与t的函数关系如图②所示：

(1)、 $A C$ = $cm$ ， $B C$ = $cm$ ；

(2)、设四边形 $M D E N$ 的面积为y，求y的最大值；

(3)、是否存在 $t$ 的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与 $Δ M D E$ 相似？如果存在，求 $t$ 的值；如果不存在，说明理由.

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28. 如图，二次函数 $y = a x^{2} - 6 a x - 16 a (a \neq 0)$ 的图像与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上， $C D / / x$ 轴，且 $O D = A B$ .

(1)、求点A，B的坐标及a的值；

(2)、点P为y轴右侧抛物线上一点.
①如图①，若 $O P$ 平分 $∠ C O D$ ， $O P$ 交 $C D$ 于点E，求点P的坐标；

②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线 $C F$ 交x轴于点G，过点P作直线 $C F$ 的垂线，垂足为Q，若 $∠ P C Q = ∠ B G C$ ，求点Q的坐标.

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	甲	乙
进价（元/套）	3000	2400
售价（元/套）	3300	2800