人教新课标A版必修一 3.2.2函数模型的应用实例

试卷更新日期：2020-07-30 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x ⩽ 0, \\ \ln x, x > 0, \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{e})) =$ （）

A、-1 B、1 C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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2. 某种产品今年的产量是 $a$ ，如果保持 $5 %$ 的年增长率，那么经过 $x$ 年 $(x \in N^{*})$ ，该产品的产量 $y$ 满足（）

A、 $y = a (1 + 5 % x)$ B、 $y = a + 5 %$ C、 $y = a {(1 + 5 %)}^{x - 1}$ D、 $y = a {(1 + 5 %)}^{x}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1}, x < 2, \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2, \end{array}$ 若 $f (a) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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4. 一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的 $a$ 倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（）

A、 $\sqrt[11]{a} - 1$ B、 $\sqrt[12]{a} - 1$ C、 $\frac{a}{11}$ D、 $\frac{a}{12}$

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5. 今有一组实验数据如下：

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

v

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）

A、 $v = \log_{2} t$ B、 $v = \log_{\frac{1}{2}} t$ C、 $v = \frac{t^{2} - 1}{2}$ D、 $v = 2 t - 2$

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6. 《九章算术 $\cdot$ 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 $560$ ,乙持钱 $350$ ,丙持钱 $180$ ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 $100$ 钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（）

A、甲付的税钱最多 B、乙、丙两人付的税钱超过甲 C、乙应出的税钱约为 $32$ D、丙付的税钱最少

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7. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( $H i p p a r c h u s$ ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森( $M . R . P o g s o n$ )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 $m_{1} - m_{2} = 2.5 (\lg E_{2} - \lg E_{1})$ .其中星等为 $m_{i}$ 的星的亮度为 $E_{i} (i = 1, 2)$ .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 $r$ 倍，则与 $r$ 最接近的是(当 $| x |$ 较小时， $10^{x} \approx 1 + 2.3 x + 2.7 x^{2}$ )

A、1.24 B、1.25 C、1.26 D、1.27

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{3}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是（）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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9. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额

折扣率

不超过500元的部分

$5 %$

超过500元的部分

$10 %$

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为 $($ $)$

A、1500元 B、1550元 C、1750元 D、1800元

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10. 函数 $f （ x ）$ = ${\begin{matrix} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $x + (x + 2) \cdot f (x + 2) \leq 5$ 的解集是（）

A、（ $- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、[ $2 ， \frac{3}{2}]$ C、（ $- \infty ， - 2)$ D、（ $- \infty ， + \infty)$

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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12. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A ， B ， C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位：小时)如下：

则完成这三件原料的描金工作最少需要（）

A、43小时 B、46小时 C、47小时 D、49小时

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} x \leq 0 \\ \lg x x > 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 1$ ，则 $a =$ ．

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14. 衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积 $V$ 随时间 $t$ 的变化规律是 $V = V_{0} e^{- \frac{1}{10} t}$ （ $e$ 为自然对数的底），其中 $V_{0}$ 为初始值.若 $V = \frac{V_{0}}{3}$ ，则 $t$ 的值约为 .(运算结果保留整数，参考数据： $\lg 3 \approx 0.4771,$ $\lg e \approx 0.4343)$

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15. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 $y (m g / m^{3})$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系为 $y = {\begin{matrix} k t ， & 0 < t < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{k t} ， & t \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$ （如图所示），实验表明，当药物释放量 $y < 0.75 (m g / m^{3})$ 对人体无害. （1） $k =$ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

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16. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 8}{2 - x}$ 的定义城为 $D$ ，对于任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ 时， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.

方案二：不收管理费，每度0.48元.

(1)、求方案一收费 $L (x)$ 元与用电量 $x$ （度）间的函数关系；

(2)、小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？

(3)、小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

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18. 中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 $160 m$ ，其中心 $O$ 距地面 $O B = \frac{167}{2} m$ ，半径为 $O C = \frac{153}{2} m$ ，若某人从最低点 $D$ 处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的距离将随时间 $t$ 变化， $t = 15 min$ 后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.

(1)、求出人与地面距离y与时间t的函数解析式；

(2)、从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于 $\frac{181}{4} m$ .

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19. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 $y$ （单位：微克）与时间 $t$ （单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线.

(1)、写出第一次服药后 $y$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(2)、据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 $1$ 微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到 $0.1$ ，参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ）

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可以享受折扣优惠金额	折扣率
不超过500元的部分	$5 %$
超过500元的部分	$10 %$

t	1.99	3.0	4.0	5.1	6.12
v	1.5	4.04	7.5	12	18.01

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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