江苏省苏州市姑苏区2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 2020的相反数是（）

A、 2020 B、﹣2020 C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $- \frac{1}{2020}$

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2. 有一组数据：2、4、4、5、8，这组数据的众数是（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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3. 若代数式 $\frac{x}{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \leq 3$ C、 $x \neq 0$ D、 $x \neq 3$

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4. 据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持.据统计，截至2020年3月10日，全国已有7436万多名党员自愿捐款，共捐款76.8亿元.76.8亿用科学记数法可表示为（）

A、 $7.68 \times 10^{8}$ B、 $0.768 \times 10^{10}$ C、 $7.68 \times 10^{9}$ D、 $76.8 \times 10^{8}$

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5. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $\tan A = 2$ ，则 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $∠ A = 30^{°}$ ，顶点C在直线b上，若a∥b， $∠ 1 = 92^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $28^{°}$ B、 $30^{°}$ C、 $32^{°}$ D、 $46^{°}$

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7. 如图，扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，以 $A O$ 为直径作半圆，若 $A O = 1$ ，则阴影部分的周长为（）

A、 $π$ B、 $π + 1$ C、 $2 π + 1$ D、 $2 π + 2$

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8. 若一次函数 $y = - x + m$ 的图像经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则不等式 $- x + m \geq 2$ 的解集为（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \leq 0$ C、 $x \geq 1$ D、 $x \leq - 1$

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9. 宽和长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形 $A B C D$ 中，宽 $A B = 2$ ，将黄金矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点C落在点A处，点D落在点 $D^{'}$ 处，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 8 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， 4)$ ，点C从点A出发以2个单位长度 $/ s$ 的速度沿线段 $A O$ 向点O匀速移动，同时点D从点O出发以1个单位长度 $/ s$ 的速度沿线段 $O B$ 向点B匀速移动，点P为线段 $C D$ 的中点，在点C从点A移动到点O的过程中，点P移动的路径长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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二、填空题

11. 计算： $a \cdot 3 a^{2} =$ .

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12. 分解因式： $x^{2} - 3 x y =$ .

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13. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{2 a - b}$ .

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14. 二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 7$ 的顶点坐标为.

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15. 转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为.

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16. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，C为弧 $B D$ 的中点，若 $∠ A = 30^{°}$ ，则 $∠ B C D =$ $^{°}$ .

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17. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，射线 $C D$ 与边 $A B$ 交于点D，E、F分别为 $A D$ 、 $B D$ 中点，设点E、F到射线 $C D$ 的距离分别为m、n，则 $m + n$ 的最大值为.

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18. 如图，折线 $A B - B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，将折线 $A B - B C$ 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 $A D - D E$ ，点B的对应点落在线段 $B C$ 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 $C E$ ，若 $C E ⊥ B C$ ，则 $\tan ∠ E D C =$ °.

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{12} - | \tan 60 ° - 1 | - {(2020 - π)}^{0}$ .

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20. 解不等式 $\frac{x + 1}{2} < \frac{x - 1}{3} + 1$ ，并把它的解集在数轴上表示出来.

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21. 先化简，再求值： $(1 + \frac{5}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 3 + \sqrt{2}$ .

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22. 如图， $Δ A B C$ 中，D、E分别为边 $B C$ 、 $A C$ 中点，连接 $D E$ 并延长至点F，使得 $E F = D E$ ，连接 $A F$ .

(1)、求证： $Δ A E F ≅ C E D$ ；

(2)、若 $A B = 12$ ， $B C = 14$ ，求四边形 $A B D F$ 的周长.

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23. 新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式(每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项)，根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图.

(1)、本次学校共调查了名学生， $a =$ ， $m =$ ；

(2)、求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；

(3)、甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率.

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24. 新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措.小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价免邮购买了A、B两种型号的口罩.第一次购买20个A型口罩，30个B型口罩，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元.

(1)、求A、B两种型号口罩的单价；

(2)、“五一”期间，该电商平台举行促销活动，小明发现同样花费160元购买B型口罩，以活动价购买可以比原价多买8个，求“五一”期间B型口罩的活动价.

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25. 如图， $Δ A B C$ 中，顶点A、B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上，顶点C在x轴的正半轴上， $∠ A C O =$ $60^{°}$ .

(1)、若 $A C = O C = 4$ ，求k的值；

(2)、若 $∠ A = 30^{°}$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $k = 3 \sqrt{3}$ ，求点C的坐标.

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26. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 为 $⊙ O$ 的切线， $A D ‖ O C$ ，交 $⊙ O$ 于点D，E为弧 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ，交 $A B$ 于点F.

(1)、求证： $C D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A D \cdot O C = 2 O A^{2}$ ；

(3)、若 $\cos A = \frac{3}{5}$ ，求 $\tan E$ .

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27. 如图①， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $B C = 6 c m$ .动点 $P$ 在 $Δ A B C$ 的边上按 $C \to A$ 的路线匀速移动，当点 $P$ 到达 $A$ 点时停止移动；动点Q以 $2 c m / s$ 的速度在 $Δ A B C$ 的边上按 $A \to B \to C$ 的路线匀速移动，当点Q到达C点时停止移动.已知点 $P$ 、点Q同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).设动点 $P$ 移动的时间为 $t (s)$ ， $Δ C P Q$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，S与t的函数关系如图②所示.

(1)、图①中 $A B =$ $c m$ ，图②中 $n =$ $c m^{2}$ ；

(2)、求S与t的函数表达式；

(3)、当 $t$ 为何值时， $Δ C P Q$ 为等腰三角形.

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28. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ (其中 $m > 1$ )的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)、点a的坐标为， $∠ A B C =$ $^{°}$ ；

(2)、若D为 $Δ A B C$ 的外心，且 $Δ A C D$ 与 $Δ B C O$ 的面积之比为 $5 ： 9$ ，求m的值；

(3)、在(2)的条件下，试探究抛物线 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ 上是否存在点E，使得 $∠ C B E = ∠ D A B$ ，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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