江苏省常州市2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列各数中，互为倒数的是（）

A、﹣3与3 B、﹣3与 $\frac{1}{3}$ C、﹣3与 $- \frac{1}{3}$ D、﹣3与|﹣3|

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2. 五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，22，21，20，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）

A、19和21 B、19和20 C、19和19 D、19和22

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{6} \div x^{2} = x^{4}$ B、 ${(x^{3} y)}^{2} = x^{5} y^{2}$ C、 $- 2 (x - 1) = - 2 x + 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$

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4.
图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 关于x的一元二次方程x²+ax﹣1=0的根的情况是（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 如图，直线 $y = a x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 4 ， 0)$ ，若 $y > 0$ 时，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 4$ B、 $x > 0$ C、 $x < - 4$ D、 $x < 0$

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7. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H.BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：
① BE⊥GD； ② OH＝ $\frac{1}{2}$ BG； ③ ∠AHD＝45°； ④ GD＝ $\sqrt{2}$ AM.

其中正确的结论个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. －2的绝对值是

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10. 函数 $y = \sqrt{2 x - 4}$ 中自变量X的取值范围是.

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11. 每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球约15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为千米.

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12. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是．

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13. 化简 $\frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a}$ =.

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14. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ =。

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15. 如图，AD是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B.若∠A＝32°，则∠B＝°.

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16. 已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于cm²（结果保留π）.

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17. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，将 $△ D A E$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $△ D C M$ . 若 $A E = 1$ ，则EF的长为.

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18. 如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ (k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为.

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $4 \sin 60 ° - \sqrt{12} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

(2)、 $(a - 2 b) (a + 2 b) - {(a - 2 b)}^{2}$

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 1 < 3 \\ \frac{x + 1}{2} - 1 < \frac{2 x}{3} \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来.

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21. 如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形.

(1)、求证：△ABE≌△CBF；

(2)、CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论.

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22. 某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查一共抽取了名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是；

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有名．

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23. 数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如下图）.把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张.

(1)、李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于；

(2)、求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.

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24. 某社区计划对1200 m²的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300 m²区域的绿化时，甲队比乙队少用3天.

(1)、甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？

(2)、设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式.

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25. 如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝ $1 ： \sqrt{3}$ （即tan∠DEM＝ $1 ： \sqrt{3}$ ），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）.

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26. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”；

理解：

(1)、如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；

(2)、如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：

(3)、如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∠EFH＝∠HFG＝30°.连接EG，若△EFG的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求FH 的长.

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27. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，动点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、CQ.

(1)、当点Q与点D重合时，求t的值；

(2)、若△ACQ是等腰三角形，求t的值；

(3)、若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.

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28. 如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0）、C，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作 $A Q ⊥ P Q$ 于点Q，连接AP（AP不平行x轴）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上运动，若 $△ A Q P$ ∽ $△ A O C$ （点P与点C对应），求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将 $△ A P Q$ 沿AP对折，点Q的对应点为点 $Q^{'}$ ，当点 $Q^{'}$ 落在x轴上时，求点P的坐标.

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