四川省自贡市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图， $a$ ∥ $b$ ， $∠ 1 = 50^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、55° D、60°

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2. 5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为（）

A、 $70 \times 10^{4}$ B、 $0.7 \times 10^{7}$ C、 $7 \times 10^{5}$ D、 $7 \times 10^{6}$

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3. 如图所示的几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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5. 在平面直角坐标系中，将点 $(2 ， 1)$ 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(5 ， 1)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(2 ， - 2)$

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6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 对于一组数据 $3, 7, 5, 3, 2$ ，下列说法正确的是（）

A、中位数是5 B、众数是7 C、平均数是4 D、方差是3

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8. 如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（）

A、50° B、70° C、130° D、160°

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9. 如图，在 $R t$ △ $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ} ， ∠ A = 50^{\circ}$ ，以点B为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ；则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、50° B、40° C、30° D、20°

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10. 函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则 $y = k x - b$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）

A、 $\frac{80 (1 + 35 %)}{x} - \frac{80}{x} = 40$ B、 $\frac{80}{(1 + 35 %) x} - \frac{80}{x} = 40$ C、 $\frac{80}{x} - \frac{80}{(1 + 35 %) x} = 40$ D、 $\frac{80}{x} - \frac{80 (1 + 35 %)}{x} = 40$

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 ， A B = \sqrt{6}$ ， $∠ B$ 是锐角， $A E ⊥ B C$ 于点E，F是 $A B$ 的中点，连接 $D F 、 E F$ ；若 $∠ E F D = 90^{\circ}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 分解因式： $3 a^{2} - 6 a b + 3 b^{2}$ = ．

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14. 与 $\sqrt{14} - 2$ 最接近的自然数是．

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15. 某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按符合题意顺序重新排序（只填番号）．
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．

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16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 $A B C D$ ， $D C$ ∥ $A B$ ， $B C$ 长为6米，坡角 $β$ 为45°， $A D$ 的坡角 $α$ 为30°，则 $A D$ 的长为米（结果保留根号）

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 上的一点，连接 $D E$ ，将△ $A D E$ 进行翻折，恰好使点A落在 $B C$ 的中点F处，在 $D F$ 上取一点O，以点O为圆心， $O F$ 的长为半径作半圆与 $C D$ 相切于点G；若 $A D = 4$ ，则图中阴影部分的面积为．

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18. 如图，直线 $y = - \sqrt{3} x + b$ 与 $y$ 轴交于点A，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 在第三象限交于 $B 、 C$ 两点，且 $A B \cdot A C = 16$ ；下列等边三角形 $△ O D_{1} E_{1}$ ， $△ E_{1} D_{2} E_{2}$ ， $△ E_{2} D_{3} E_{3}$ ，……的边 $O E_{1}$ ， $E_{1} E_{2}$ ， $E_{2} E_{3}$ ，……在x轴上，顶点 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3} ，$ ……在该双曲线第一象限的分支上，则 $k$ = ，前25个等边三角形的周长之和为．

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三、解答题

19. 计算： $| - 2 | - {(\sqrt{5} + π)}^{0} + {(- \frac{1}{6})}^{- 1}$ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x^{2} - 4} \cdot (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中x为不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ 5 - 2 x > 3 \end{array}$ 的整数解．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边的延长线上，点F在 $C D$ 边的延长线上，且 $C E = D F$ ，连接 $A E$ 和 $B F$ 相交于点M．
求证： $A E = B F$ ．

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22. 某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪；B：环境保护；C；卫生保洁；D：垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

(1)、本次调查的学生人数是人， $m$ = ；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是．

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23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．

(1)、以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数关系式；

(2)、新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？

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24. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式 $| x - 2 |$ 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为 $| x + 1 | = | x - (- 1) |$ ，所以 $| x + 1 |$ 的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
⑴发现问题：代数式 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是多少？

⑵探究问题：如图，点 $A ， B ， P$ 分别表示的是 $- 1 ， 2 ， x$ ， $A B = 3$ ．

∵ $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的几何意义是线段 $P A$ 与 $P B$ 的长度之和

∴当点 $P$ 在线段 $A B$ 上时， $P A + P B = 3$ ；当点点 $P$ 在点 $A$ 的左侧或点 $B$ 的右侧时 $P A + P B > 3$

∴ $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是3．

⑶解决问题：

①. $| x - 4 | + | x + 2 |$ 的最小值是；

②.利用上述思想方法解不等式： $| x + 3 | + | x - 1 | > 4$

③.当 $a$ 为何值时，代数式 $| x + a | + | x - 3 |$ 的最小值是2 ．

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25. 如图，⊙O是△ $A B C$ 的外接圆， $A B$ 为直径，点 $P$ 是⊙O外一点，且 $P A = P C = \sqrt{2} A B$ ，连接 $P O$ 交 $A C$ 于点D，延长 $P O$ 交⊙O于点F．

(1)、证明： $\overset{⌢}{A F}$ = $\overset{⌢}{C F}$ ；

(2)、若 $\tan ∠ A B C = 2 \sqrt{2}$ ，证明： $P A$ 是⊙O的切线；

(3)、在⑵的条件下，连接 $P B$ 交⊙O于点E，连接 $D E$ ；若 $B C = 2$ ，求 $D E$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴相交于 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ ，交y轴于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $A M$ ，点E是线段 $A M$ 上方抛物线上的一动点， $E F ⊥ A M$ 于点F；过点E作 $E H ⊥ x$ 轴于点H，交 $A M$ 于点D.点P是y轴上一动点，当 $E F$ 取最大值时．
①求 $P D + P C$ 的最小值；

②如图2，Q点是y轴上一动点，请直接写出 $D Q + \frac{1}{4} O Q$ 的最小值．

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