辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市2020年中考数学试题

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）

1. -2的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $m^{2} + 2 m = 3 m^{3}$ B、 $m^{4} \div m^{2} = m^{2}$ C、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6}$ D、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$

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4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是 $s_{甲}^{2} = 3.6$ ， $s_{乙}^{2} = 4.6$ ， $s_{丙}^{2} = 6.3$ ， $s_{丁}^{2} = 7.3$ ，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则∠2的度数是（）

A、15° B、20° C、25° D、40°

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7. 一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 $x$ 件，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x - 80}$ B、 $\frac{3000}{x} + 80 = \frac{4200}{x}$ C、 $\frac{4200}{x} = \frac{3000}{x} - 80$ D、 $\frac{3000}{x} = \frac{4200}{x + 80}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，点E是 $C D$ 上一点，连接 $O E$ ，若 $O E = C E$ ，则 $O E$ 的长是（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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10. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D.点 $P$ 从点A出发，沿 $A \to D \to C$ 的路径运动，运动到点C停止，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ 于点E，作 $P F ⊥ B C$ 于点F.设点P运动的路程为x，四边形 $C E P F$ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 截至2020年3月底，我国已建成 $5G$ 基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为.

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12. 若一次函数 $y = 2 x + 2$ 的图象经过点 $(3, m)$ ，则 $m =$ .

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 无实数根，则k的取值范围是.

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14. 下图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是.

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15. 如图，在 $Δ A B C$ 中，M，N分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点，连接 $M N$ ，点E是 $C N$ 的中点，连接 $M E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点D，若 $B C = 4$ ，则 $C D$ 的长为.

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16. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2 B C$ ，分别以点A和B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点E，连接 $B E$ ，若 $C E = 3$ ，则 $B E$ 的长为.

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象上，点B，C在x轴上， $O C = \frac{1}{5} O B$ ，延长 $A C$ 交y轴于点D，连接 $B D$ ，若 $Δ B C D$ 的面积等于1，则k的值为.

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，延长 $D A$ 到点 $E$ ，使 $A E = D A$ ，连接 $E B$ ，点 $F_{1}$ 是 $C D$ 的中点，连接 $E F_{1}$ ， $B F_{1}$ ，得到 $Δ E F_{1} B$ ；点 $F_{2}$ 是 $C F_{1}$ 的中点，连接 $E F_{2}$ ， $B F_{2}$ ，得到 $Δ E F_{2} B$ ；点 $F_{3}$ 是 $C F_{2}$ 的中点，连接 $E F_{3}$ ， $B F_{3}$ ，得到 $Δ E F_{3} B$ ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形 $A B C D$ 的面积等于2，则 $Δ E F_{n} B$ 的面积为.（用含正整数 $n$ 的式子表示）

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三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{3 - x}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 3$ .

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20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 $x$ 小时，将它分为4个等级：A（ $0 \leq x < 2$ ），B（ $2 \leq x < 4$ ），C（ $4 \leq x < 6$ ），D（ $x \geq 6$ ），并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、在扇形统计图中，等级 $D$ 所对应的扇形的圆心角为°；

(3)、请补全条形统计图；

(4)、在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.

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四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21. 某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.

(1)、求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

(2)、学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？

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22. 如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点 $C$ 处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）

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五、解答题（满分12分）

23. 超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中 $10 \leq x \leq 15$ ，且 $x$ 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

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六、解答题（满分12分）

24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $∠ C A B = 90 °$ ，以点A为圆心，以 $A B$ 的长为半径作 $⊙ A$ ，交 $B C$ 边于点E，交 $A C$ 于点F，连接 $D E$ .

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ A$ 相切；

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求阴影部分的面积.

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七、解答题（满分12分）

25. 如图，射线 $A B$ 和射线 $C B$ 相交于点 $B$ ， $∠ A B C = α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ），且 $A B = C B$ .点D是射线 $C B$ 上的动点（点D不与点 $C$ 和点 $B$ 重合）.作射线 $A D$ ，并在射线 $A D$ 上取一点E，使 $∠ A E C = α$ ，连接 $C E$ ， $B E$ .

(1)、如图①，当点D在线段 $C B$ 上， $α = 90 °$ 时，请直接写出 $∠ A E B$ 的度数；

(2)、如图②，当点 $D$ 在线段 $C B$ 上， $α = 120 °$ 时，请写出线段 $A E$ ， $B E$ ， $C E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、当 $α = 120 °$ ， $\tan ∠ D A B = \frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{C E}{B E}$ 的值.

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八、解答题

26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 \sqrt{3} x + c$ （ $a \neq 0$ ）过点 $O (0 ， 0)$ 和 $A (6 ， 0)$ ，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接 $O B$ ， $O D$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，当 $∠ B O D = 30 °$ 时，求点D的坐标；

(3)、如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段 $O D$ 于点E，点F是线段 $O B$ 上的动点（点F不与点O和点B重合，连接 $E F$ ，将 $Δ B E F$ 沿 $E F$ 折叠，点B的对应点为点B， $Δ E F B^{'}$ 与 $Δ O B E$ 的重叠部分为 $Δ E F G$ ，在坐标平面内是否存在一点 $H$ ，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.

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