四川省达州市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台“朝日新闻”报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示，正确的是（）

A、 $1.002 \times 10^{7}$ B、 $1.002 \times 10^{6}$ C、 $1002 \times 10^{4}$ D、 $1.002 \times 10^{2}$ 万

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2. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（）

A、3.14 B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{17}$

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3. 下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是（）

A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查． B、确定事件一定会发生． C、某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98． D、数据6、5、8、7、2的中位数是6．

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5. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积， $S_{主} = x^{2} + 3 x$ ， $S_{左} = x^{2} + x$ ，则 $S_{俯} =$ （）

A、 $x^{2} + 4 x + 3$ B、 $x^{2} + 3 x + 2$ C、 $x^{2} + 2 x + 1$ D、 $2 x^{2} + 4 x$

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6. 如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）

A、 $12 (m - 1)$ B、 $4 m + 8 (m - 2)$ C、 $12 (m - 2) + 8$ D、 $12 m - 16$

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7. 中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A、10 B、89 C、165 D、294

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8. 如图，在半径为5的 $⊙ O$ 中，将劣弧 $A B$ 沿弦 $A B$ 翻折，使折叠后的 $\overset{⌢}{A B}$ 恰好与 $O A$ 、 $O B$ 相切，则劣弧AB的长为（）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $\frac{5}{2} π$ C、 $\frac{5}{4} π$ D、 $\frac{5}{6} π$

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9. 如图，直线 $y_{1} = k x$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x + c$ 交于A、B两点，则 $y = a x^{2} + (b - k) x + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $∠ B O D = 45 °$ ， $B O = D O$ ，点A在 $O B$ 上，四边形 $A B C D$ 是矩形，连接 $A C$ 、 $B D$ 交于点E，连接 $O E$ 交 $A D$ 于点F．下列4个判断：① $O E$ 平分 $∠ B O D$ ；② $O F = B D$ ；③ $D F = \sqrt{2} A F$ ；④若点G是线段 $O F$ 的中点，则 $△ A E G$ 为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图

②收集三个部分本班学生喜欢的人数

③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比

其中正确的统计顺序是．

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12. 如图，点 $P (- 2 ， 1)$ 与点 $Q (a ， b)$ 关于直线 $l (y = - 1)$ 对称，则 $a + b =$ ．

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13. 小明为测量校园里一颗大树 $A B$ 的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪 $C D$ 竖直放在与B相距 $8m$ 的位置，在D处测得树顶A的仰角为 $52^{°}$ ．若测角仪的高度是 $1 m$ ，则大树 $A B$ 的高度约为．（结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 52^{°} \approx 0.78 ， \cos 52^{°} \approx 0.61 ， \tan 52^{°} \approx 1.28$ ）

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14. 如图，点A、B在反比函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接 $O A$ 、 $O B$ ，则 $△ O A B$ 的面积是．

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15. 已知 $△ A B C$ 的三边a、b、c满足 $b + | c - 3 | + a^{2} - 8 a = 4 \sqrt{b - 1} - 19$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径= ．

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16. 已知k为正整数，无论k取何值，直线 $l_{1} ： y = k x + k + 1$ 与直线 $l_{2} ： y = (k + 1) x + k + 2$ 都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与x轴围成的三角形面积为 $S_{k}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots + S_{100}$ 的值为．

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三、解答题

17. 计算： $- 2^{2} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - \sqrt{5})}^{0} + \sqrt[3]{- 125}$ ．

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18. 求代数式 $(\frac{2 x - 1}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的值，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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19. 如图，点O在 $∠ A B C$ 的边 $B C$ 上，以 $O B$ 为半径作 $⊙ O$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B M$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $D E ⊥ B A$ 于点E．

(1)、尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；

(2)、判断 $⊙ O$ 与 $D E$ 交点的个数，并说明理由．

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20. 争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：

94 83 90 86 94 88 96 100 89 82

94 82 84 89 88 93 98 94 93 92

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

等级	成绩/分	频数
A	$95 ⩽ x ⩽ 100$	a
B	$90 ⩽ x < 95$	8
C	$85 ⩽ x < 90$	5
D	$80 ⩽ x < 85$	4

根据以上信息，解答下列问题．

(1)、填空：

a =

，

b =

；

(2)、若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；

(3)、已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $B C = 2 A B$ ，D、E分别是边 $B C$ 、 $A C$ 的中点．将 $△ C D E$ 绕点E旋转180度，得 $△ A F E$ ．

(1)、判断四边形 $A B D F$ 的形状，并证明；

(2)、已知 $A B = 3$ ， $A D + B F = 8$ ，求四边形 $A B D F$ 的面积S．

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22. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

	原进价（元/张）	零售价（元/张）	成套售价（元/套）
餐桌	a	380	940
餐椅	$a - 140$	160	940

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．

(1)、求表中a的值；

(2)、该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

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23. 如图，在梯形

A B C D

中，

A B / / C D

，

∠ B = 90^{°}

，

A B = 6 cm

，

C D = 2 cm

．P为线段

B C

上的一动点，且和B、C不重合，连接

P A

，过点P作

P E ⊥ P A

交射线

C D

于点E．

聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

(1)、通过推理，他发现

△ A B P ∽ △ P C E

，请你帮他完成证明．

(2)、利用几何画板，他改变

B C

的长度，运动点P，得到不同位置时，

C E

、

B P

的长度的对应值：

当 $B C = 6 cm$ 时，得表1：

$B P / cm$	…	1	2	3	4	5	…
$C E / cm$	…	0.83	1.33	1.50	1.33	0.83	…

当 $B C = 8 cm$ 时，得表2：

$B P / cm$	…	1	2	3	4	5	6	7	…
$C E / cm$	…	1.17	2.00	2.50	2.67	2.50	2.00	1.17	…

这说明，点P在线段 $B C$ 上运动时，要保证点E总在线段 $C D$ 上， $B C$ 的长度应有一定的限制．

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 $B P$ 和 $C E$ 的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；

②设 $B C = m cm$ ，当点P在线段 $B C$ 上运动时，点E总在线段 $C D$ 上，求m的取值范围．

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24.

(1)、（阅读与证明）
如图1，在正 $△ A B C$ 的外角 $∠ C A H$ 内引射线 $A M$ ，作点C关于 $A M$ 的对称点E（点E在 $∠ C A H$ 内），连接 $B E$ ， $B E$ 、 $C E$ 分别交 $A M$ 于点F、G．

①完成证明： $∵$ 点E是点C关于 $A M$ 的对称点，

$∴ ∠ A G E = 90^{°}$ ， $A E = A C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

$∵$ 正 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{°}$ ， $A B = A C$ ，

$∴ A E = A B$ ，得 $∠ 3 = ∠ 4$ ．

在 $△ A B E$ 中， $∠ 1 + ∠ 2 + 60^{°} + ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{°}$ ， $∴ ∠ 1 + ∠ 3 =$ $^{°}$ ．

在 $△ A E G$ 中， $∠ F E G + ∠ 3 + ∠ 1 = 90^{°}$ ， $∴ ∠ F E G =$ $^{°}$ ．

②求证： $B F = A F + 2 F G$ ．

(2)、（类比与探究）
把（1）中的“正 $△ A B C$ ”改为“正方形 $A B D C$ ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：

① $∠ F E G =$ $^{°}$ ；

②线段 $B F$ 、 $A F$ 、 $F G$ 之间存在数量关系．

(3)、（归纳与拓展）
如图3，点A在射线 $B H$ 上， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α (0^{°} < α < 180^{°})$ ，在 $∠ C A H$ 内引射线 $A M$ ，作点C关于 $A M$ 的对称点E（点E在 $∠ C A H$ 内），连接 $B E$ ， $B E$ 、 $C E$ 分别交 $A M$ 于点F、G．则线段 $B F$ 、 $A F$ 、 $G F$ 之间的数量关系为．

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25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于另一点 $C (- 1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点P，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点M为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，求 $M N + \frac{1}{2} O N$ 的最小值．

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