山东省潍坊市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b$

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3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（）

A、 $1.109 \times 10^{7}$ B、 $1.109 \times 10^{6}$ C、 $0.1109 \times 10^{8}$ D、 $11.09 \times 10^{6}$

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4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：

一分钟跳绳个数（个）

141

144

145

146

学生人数（名）

5

2

1

2

则关于这组数据的结论正确的是（）

A、平均数是144 B、众数是141 C、中位数是144.5 D、方差是5.4

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6. 若 $m^{2} + 2 m = 1$ ，则 $4 m^{2} + 8 m - 3$ 的值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 如图，点E是 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，且 $\frac{D E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，若 $D E = 3 ， D F = 4$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、21 B、28 C、34 D、42

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + (k - 3) x + 1 - k = 0$ 根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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9. 如图，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (- 2 ， 3) ， B (1 ， - 6)$ 两点，则不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集为（）

A、 $x > - 2$ B、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 1$ C、 $x > 1$ D、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 1$

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10. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 ° ， O A = 3 ， O B = 4$ ，以点O为圆心，2为半径的圆与 $O B$ 交于点C，过点C作 $C D ⊥ O B$ 交 $A B$ 于点D，点P是边 $O A$ 上的动点．当 $P C + P D$ 最小时， $O P$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 ⩾ 1 \\ 2 x - a < 8 \end{array}$ 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）

A、 $0 \leq a \leq 2$ B、 $0 \leq a < 2$ C、 $0 < a \leq 2$ D、 $0 < a < 2$

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12. 若定义一种新运算： $a \otimes b = {\begin{array}{l} a - b & (a ⩾ 2 b) \\ a + b - 6 & (a < 2 b) \end{array}$ 例如： $3 \otimes 1 = 3 - 1 = 2$ ； $5 \otimes 4 = 5 + 4 - 6 = 3$ ．则函数 $y = (x + 2) \otimes (x - 1)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 因式分解：x²y﹣9y= ．

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14. 若 $| a - 2 | + \sqrt{b - 3} = 0$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 20 °$ ， $P Q$ 垂直平分 $A B$ ，垂足为Q，交 $B C$ 于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $A C ， A B$ 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 $A F$ ．若 $A F$ 与 $P Q$ 的夹角为 $α$ ，则 $α =$ °．

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{3 x}{x - 2} = \frac{m + 3}{x - 2} + 1$ 有增根，则m= ．

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点G，E分别在边 $B C ， D C$ 上，连接 $A C ， E G ， A E$ ，将 $△ A B G$ 和 $△ E C G$ 分别沿 $A G ， E G$ 折叠，使点B，C恰好落在 $A E$ 上的同一点，记为点F．若 $C E = 3 ， C G = 4$ ，则 $\sin ∠ D A E =$ ．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，曲线 $D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} \dots$ 是由一段段90度的弧组成的．其中： $\overset{⌢}{D A_{1}}$ 的圆心为点A，半径为 $A D$ ；
$\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 的圆心为点B，半径为 $B A_{1}$ ；

$\overset{⌢}{B_{1} C_{1}}$ 的圆心为点C，半径为 $C B_{1}$ ；

$\overset{⌢}{C_{1} D_{1}}$ 的圆心为点D，半径为 $D C_{1}$ ；…

$\overset{⌢}{D A_{1}} ， \overset{⌢}{A_{1} B_{1}} ， \overset{⌢}{B_{1} C_{1}} ， \overset{⌢}{C_{1} D_{1}} ， \cdot \cdot \cdot$ 的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $\overset{⌢}{A_{2020} B_{2020}}$ 的长是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x - 3}{x - 1}$ ，其中x是16的算术平方根．

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20. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 $A B$ 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 $A B$ 的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥 $A B$ 的长度．

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21. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档： $t < 8$ ；B档： $8 \leq t < 9$ ；C档： $9 \leq t < 10$ ；D档： $t \geq 10$ ．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；

②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：

(1)、求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；

(2)、已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；

(3)、学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

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22. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，射线 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点F，点C为劣弧 $\overset{⌢}{B F}$ 的中点，过点C作 $C E ⊥ A D$ ，垂足为E，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B A C = 30 ° ， A B = 4$ ，求阴影部分的面积．

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23. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = A C = \sqrt{2} + 1$ ，点D，E分别在边 $A B ， A C$ 上，且 $A D = A E = 1$ ，连接 $D E$ ．现将 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0^{°} < α < 360^{°})$ ，如图2，连接 $C E ， B D ， C D$ ．

(1)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当 $α = 90 °$ 时，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，求证： $C F$ 垂直平分 $B D$ ；

(3)、在旋转过程中，求 $△ B C D$ 的面积的最大值，并写出此时旋转角 $α$ 的度数．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (8 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为D，连接 $A C ， B C ， B C$ 与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是第一象限内抛物线上的动点，连接 $P B ， P C$ ，当 $S_{△ P B C} = \frac{3}{5} S_{△ A B C}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线 $E D$ 上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与 $△ O B C$ 相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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一分钟跳绳个数（个）	141	144	145	146
学生人数（名）	5	2	1	2