河南省2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 2的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（）

A、中央电视台《开学第--课》的收视率 B、某城市居民6月份人均网上购物的次数 C、即将发射的气象卫星的零部件质量 D、某品牌新能源汽车的最大续航里程

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4. 如图， $l_{1} / / l_{2} ， l_{3} / / l_{4}$ ，若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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5. 电子文件的大小常用 $B, K B, M B, G B$ 等作为单位，其中 $1 G B = 2^{10} M B, 1 M B = 2^{10} K B, 1 K B = 2^{10} B$ ，某视频文件的大小约为 $1 G B, 1 G B$ 等于（）

A、 $2^{30} B$ B、 $8^{30} B$ C、 $8 \times 10^{10} B$ D、 $2 \times 10^{30} B$

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6. 若点 $A (- 1, y_{1}), B (2, y_{1}), C (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图像上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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7. 定义运算： $m ☆ n = m n^{2} - m n - 1$ .例如 $: 4 ☆ 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ .则方程 $1 ☆ x = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为（）

A、 $5000 (1 + 2 x) = 7500$ B、 $5000 \times 2 (1 + x) = 7500$ C、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$ D、 $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ .边 $B C$ 在x轴上，顶点 $A ， B$ 的坐标分别为 $(- 2 ， 6)$ 和 $(7 ， 0)$ .将正方形 $O C D E$ 沿x轴向右平移当点E落在 $A B$ 边上时，点D的坐标为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(\frac{11}{4} ， 2)$ D、 $(4 ， 2)$

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = B C = \sqrt{3} ， ∠ B A C = 30 °$ ，分别以点 $A ， C$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接 $D A ， D C ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、9 C、6 D、 $3 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 请写出一个大于1且小于2的无理数：.

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12. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x > a \\ x > b \end{array}$ ，其中 $a ， b$ 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为.

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13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是.

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14. 如图，在边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $E C ， F D ，$ 点 $G ， H$ 分别是 $E C ， F D$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长度为.

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15. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 ° ， O D$ 平分 $∠ B O C$ 交狐 $B C$ 于点D.点E为半径 $O B$ 上一动点若 $O B = 2$ ，则阴影部分周长的最小值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 1$

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17. 为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时，设定分装的标准质量为每袋 $500 g$ ，与之相差大于 $10 g$ 为不合格.为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 $20$ 袋，测得实际质量(单位： $g$ )

如下：

甲： $501 497 498 502 513 489 506 490 505 486$ $502 503 498 497 491 500 505 502 504 505$

乙： $505 499 502 491 487 506 493 505 499 498$ $502 503 501 490 501 502 512 499 499 501$

[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量 $x (g)$ 的频数分布表.

485≤x<490 490≤x<495 495≤x<500 500≤x<505 505≤x<510 510≤x<515

甲 2 2 4 7 4 1

乙 1 3 5 7 3 1

[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量.

平均数中位数方差不合格率

甲 499.7 501.5 42.01 b

乙 499.7 a 31.81 10%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表格中的 $a =$ $b =$

(2)、综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由.

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18. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道 $M P$ 上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $M P$ 方向前进 $16 m$ 到达点N处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .测角仪的高度为 $1.6 m$ ，

(1)、求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $s i n 22 ° \approx 0.37 ， c o s 22 ° \approx 0. 93 ， t a n 22 ° \approx 0.40 ， \sqrt{2} \approx 1.41$ )；

(2)、“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6 m$ ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

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19. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；

设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为 $y_{1}$ ，(元)，且 $y_{1} = k_{1} x + b$ ；按照方案二所需费用为 $y_{2}$ (元) ，且 $y_{2} = k_{2} x .$ 其函数图象如图所示.

(1)、求 $k_{1}$ 和b的值，并说明它们的实际意义；

(2)、求打折前的每次健身费用和 $k_{2}$ 的值；

(3)、八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.

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20. 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器.图1是它的示意图，其中 $A B$ 与半圆O的直径 $B C$ 在同一直线上，且 $A B$ 的长度与半圆的半径相等； $D B$ 与 $A C$ 重直F点 $B ， D B$ 足够长.
使用方法如图2所示，若要把 $∠ M E N$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $D B$ 经过 $∠ M E N$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $E M$ 上，半圆O与另一边 $E N$ 恰好相切，切点为F，则 $E B ， E O$ 就把 $∠ M E N$ 三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.

已知：如图2，点在 $A ， B ， O ， C$ 同一直线上， $E B ⊥ A C ，$ 垂足为点B， ▲

求证： ▲

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21. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点 $A ， B$ ，且 $O A = O B ，$ 点G为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)、点 $M ， N$ 为抛物线上两点(点M在点N的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点 $M ， N$ 之间(含点 $M ， N$ )的一个动点，求点Q的纵坐标 $y_{Q}$ 的取值范围.

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22. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是弧 $B C$ 上一动点，线段 $B C = 8 c m ，$ 点A是线段 $B C$ 的中点，过点C作 $C F / / B D$ ，交 $D A$ 的延长线于点F.当 $Δ D C F$ 为等腰三角形时，求线段 $B D$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点D在弧 $B C$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $B D ， C D ， F D$ 的长度，得到下表的几组对应值.

操作中发现：

①"当点D为弧 $B C$ 的中点时， $B D = 5.0 c m$ ".则上中a的值是

②"线段 $C F$ 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由；

(2)、将线段 $B D$ 的长度作为自变量 $x ， C D$ 和 $F D$ 的长度都是x的函数，分别记为 $y_{C D}$ 和 $y_{F D}$ ，并在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出了函数 $y_{F D}$ 的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数 $y_{C D}$ 的图象；

(3)、继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $Δ D C F$ 为等腰三角形时，线段 $B D$ 长度的近似值.(结果保留一位小数).

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23. 将正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 绕点A逆时针旋转至 $A B^{'}$ ，记旋转角为 $α$ .连接 $B B^{'}$ ，过点D作 $D E$ 垂直于直线 $B B^{'}$ ，垂足为点E，连接 $D B^{'} ， C E$ ，

(1)、如图1，当 $α = 60 °$ 时， $Δ D E B^{'}$ 的形状为，连接 $B D$ ，可求出 $\frac{B B^{'}}{C E}$ 的值为；

(2)、当 $0 ° < α < 360 °$ 且 $α \neq 90 °$ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B^{'} ， E ， C ， D$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{B E}{B' E}$ 的值.

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	485≤x<490	490≤x<495	495≤x<500	500≤x<505	505≤x<510	510≤x<515
甲	2	2	4	7	4	1
乙	1	3	5	7	3	1

	平均数	中位数	方差	不合格率
甲	499.7	501.5	42.01	b
乙	499.7	a	31.81	10%