山东省泰安市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x y - x y = 2$ B、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{12}$ C、 $x^{- 10} \div x^{2} = x^{- 5}$ D、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{6}$

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3. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 10^{12}$ 元 B、 $4 \times 10^{10}$ 元 C、 $4 \times 10^{11}$ 元 D、 $4 \times 10^{9}$ 元

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4. 将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、80° B、100° C、110° D、120°

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5. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册

1

2

3

4

5

人数/人

2

5

7

4

2

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A、3，3 B、3，7 C、2，7 D、7，3

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6. 如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线，点A为切点， $O P$ 交 $⊙ O$ 于点B ， $∠ P = 10 °$ ，点C在 $⊙ O$ 上， $O C // A B$ ．则 $∠ B A C$ 等于（）

A、20° B、25° C、30° D、50°

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7. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a ， b为常数）的形式，则a ， b的值分别是（）

A、-4，21 B、-4，11 C、4，21 D、-8，69

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8. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B = B C ， ∠ B A C = 30 °$ ， $A D$ 是直径， $A D = 8$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 在同一平面直角坐标系内，二次函数 $y = a x^{2} + b x + b (a \neq 0)$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是一张平行四边形纸片，其高 $A G = 2 cm$ ，底边 $B C = 6 cm$ ， $∠ B = 45 °$ ，沿虚线 $E F$ 将纸片剪成两个全等的梯形，若 $∠ B E F = 30 °$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、 $1 cm$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3} cm$ C、 $(2 \sqrt{3} - 3) cm$ D、 $(2 - \sqrt{3}) cm$

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 交 $C D$ 于点F ，交 $A C$ 于点M ，过点D作 $D E // B F$ 交 $A B$ 于点E ，交 $A C$ 于点N ，连接 $F N ， E M$ ．则下列结论：
① $D N = B M$ ；② $E M // F N$ ；③ $A E = F C$ ；④当 $A O = A D$ 时，四边形 $D E B F$ 是菱形．其中，正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，点A ， B的坐标分别为 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 2)$ ，点C为坐标平面内一点， $B C = 1$ ，点M为线段 $A C$ 的中点，连接 $O M$ ，则 $O M$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 16, \\ 5 x + 3 y = 72 \end{array}$ 的解是．

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14. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C的坐标分别为 $A (0 ， 3)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ， $C (3 ， 1)$ ． $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形，将 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕点 $B^{'}$ 逆时针旋转180°，点 $A^{'}$ 的对应点为M ，则点M的坐标为．

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15. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $B C / / A D ， B E ⊥ A D$ ，斜坡 $A B$ 长 $26 m$ ，斜坡 $A B$ 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿 $B C$ 至少向右移 $m$ 时，才能确保山体不滑坡．（取 $\tan 50^{°} = 1.2$ ）

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16. 如图，点O是半圆圆心， $B E$ 是半圆的直径，点A ， D在半圆上，且 $A D // B O ， ∠ A B O = 60 ° ， A B = 8$ ，过点D作 $D C ⊥ B E$ 于点C ，则阴影部分的面积是．

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17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的y与x的部分对应值如下表：

x

-5

-4

-2

0

2

y

6

0

-6

-4

6

下列结论：

① $a > 0$ ；

②当 $x = - 2$ 时，函数最小值为 $- 6$ ；

③若点 $(- 8 ， y_{1})$ ，点 $(8 ， y_{2})$ 在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

④方程 $a x^{2} + b x + c = - 5$ 有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

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18. 右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，……，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} + a_{200} =$ ．

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三、解答题

19.

(1)、化简： $(a - 1 + \frac{1}{a - 3}) \div \frac{a^{2} - 4}{a - 3}$ ；

(2)、解不等式： $\frac{x + 1}{3} - 1 < \frac{x - 1}{4}$ ．

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20. 如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (3 ， a)$ ，点 $B (14 - 2 a ， 2)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、若一次函数图象与y轴交于点C ，点D为点C关于原点O的对称点，求 $△ A C D$ 的面积．

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21. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次参加比赛的学生人数是名；

(2)、把条形统计图补充完整；

(3)、求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 $α$ 的度数；

(4)、在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

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22. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

(1)、A ， B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

(2)、第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A ， B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ， B两种茶叶各多少盒？

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23. 若 $△ A B C$ 和 $△ A E D$ 均为等腰三角形，且 $∠ B A C = ∠ E A D = 90 °$ ．

(1)、如图（1），点B是 $D E$ 的中点，判定四边形 $B E A C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图（2），若点G是 $E C$ 的中点，连接 $G B$ 并延长至点F，使 $C F = C D$ ．求证：① $E B = D C$ ，② $∠ E B G = ∠ B F C$ ．

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24. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $∠ A C B$ 与 $∠ E C D$ 恰好为对顶角， $∠ A B C = ∠ C D E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $A B = B D$ ，点F是线段 $C E$ 上一点．

(1)、探究发现：
当点F为线段 $C E$ 的中点时，连接 $D F$ （如图（2），小明经过探究，得到结论： $B D ⊥ D F$ ．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）

(2)、拓展延伸：
将（1）中的条件与结论互换，即：若 $B D ⊥ D F$ ，则点F为线段 $C E$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

(3)、问题解决：
若 $A B = 6 ， C E = 9$ ，求 $A D$ 的长．

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25. 若一次函数 $y = - 3 x - 3$ 的图象与x轴，y轴分别交于A ， C两点，点B的坐标为 $(3 ， 0)$ ，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过A ， B ， C三点，如图（1）．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图（1），过点C作 $C D // x$ 轴交抛物线于点D ，点E在抛物线上（ $y$ 轴左侧），若 $B C$ 恰好平分 $∠ D B E$ ．求直线 $B E$ 的表达式；

(3)、如图（2），若点P在抛物线上（点P在 $y$ 轴右侧），连接 $A P$ 交 $B C$ 于点F ，连接 $B P$ ， $S_{△ B F P} = m S_{△ B A F}$ ．
①当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求点P的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

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册数/册	1	2	3	4	5
人数/人	2	5	7	4	2