山东省青岛市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －4的绝对值是（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、－4 D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 下列四个图形中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）

A、22×10⁸ B、2.2×10^-8 C、0.22×10^-7 D、22×10^-9

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4. 如图所示的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，将 $△ A B C$ 先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C'$ ，则点A的对应点 $A'$ 的坐标是（）

A、（0，4） B、（2，-2） C、（3，-2） D、（-1，4）

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6. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点A，C在 $⊙ O$ 上， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A D}$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点G．若 $∠ C O D = 126 °$ ．则 $∠ A G B$ 的度数为（）

A、 $99 °$ B、 $108 °$ C、 $110 °$ D、 $117 °$

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7. 如图，将矩形 $A B C D$ 折叠，使点C和点A重合，折痕为 $E F$ ， $E F$ 与 $A C$ 交于点O若 $A E = 5$ ， $B F = 3$ ，则 $A O$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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8. 已知在同一直角坐标系中二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 和反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = \frac{c}{a} x - b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算 $(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}) \times \sqrt{3}$ 的结果是．

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10. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）

应聘者

项目

甲

乙

学历

9

8

经验

7

6

工作态度

5

7

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11. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上的一点， $A B$ 垂直于x轴，垂足为B． $△ O A B$ 的面积为6．若点 $P (a ， 7)$ 也在此函数的图象上，则 $a =$ ．

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12. 抛物线 $y = 2 x^{2} + 2 (k - 1) x - k$ （ $k$ 为常数）与x轴交点的个数是．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，点 $E$ 在 $C D$ 的延长线上，连接 $A E$ ，点F是 $A E$ 的中点，连接 $O F$ 交 $A D$ 于点G．若 $D E = 2$ ， $O F = 3$ ，则点A到 $D F$ 的距离为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，O为 $B C$ 边上的一点，以O为圆心的半圆分别与 $A B$ ， $A C$ 相切于点M，N．已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B + A C = 16$ ， $\overset{⌢}{M N}$ 的长为 $π$ ，则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题

15. 已知： $△ A B C$ ．
求作： $⊙ O$ ，使它经过点B和点C，并且圆心O在 $∠ A$ 的平分线上，

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16.

(1)、计算： $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \div (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 3 \geq - 5 \\ \frac{1}{3} x + 2 < x \end{array}$

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17. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

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18. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西 $22 °$ 方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东 $67 °$ 方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据： $\sin 22^{o} \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $\sin 67^{°} \approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ）

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19. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 $n$ 名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．

请根据图中信息解答下列问题：

(1)、补全频数直方图；

(2)、在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比 $m =$ ；

(3)、已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的 $n$ 名学生测试成绩的中位数是分；

(4)、若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．

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20. 为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为 $480 m^{3}$ ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量 $y (m^{3})$ 与注水时间 $t (h)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)、根据图象求游泳池的蓄水量 $y (m^{3})$ 与注水时间 $t (h)$ 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

(2)、现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 $\frac{4}{3}$ 倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，点E，F分别在 $B D$ 和 $D B$ 的延长线上，且 $D E = B F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ ≌ $△ C B F$ ；

(2)、连接 $A F$ ， $C E$ ，当 $B D$ 平分 $∠ A B C$ 时，四边形 $A F C E$ 是什么特殊四边形？请说明理由．

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22. 某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 $A D = 4 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，抛物线的最高点E到 $B C$ 的距离为 $4 m$ ．

(1)、按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 $y = k x^{2} + m (k \neq 0)$ 表示，求该抛物线的函数表达式；

(2)、现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与 $A D$ 之间的区域内加装一扇长方形窗户 $F G M N$ ，点G，M在 $A D$ 上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元 $/ m^{2}$ ．已知 $G M = 2 m$ ，求每个 $B$ 型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户 $F G M N$ 的成本）

(3)、根据市场调查，以单价650元销售（2）中的 $B$ 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个 $B$ 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价 $n$ （元）定为多少时，每月销售 $B$ 型活动板房所获利润 $w$ （元）最大？最大利润是多少？

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23. 实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 3$ ）这n个整数中任取 $a (1 < a < n)$ 个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

(1)、探究一：

①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数	1，2	1，3，	2，3
2个整数之和	3	4	5

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．

②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

所取的2个整数	1，2	1，3，	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．

③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

④从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 3$ ）这 $n$ 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

(2)、探究二：

①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

②从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 4$ ）这 $n$ 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

(3)、探究三：

从1，2，3，…，n（n $n$ 为整数，且 $n \geq 5$ ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．

(4)、归纳结论：

从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 3$ ）这 $n$ 个整数中任取 $a (1 < a < n)$ 个整数，这 $a$ 个整数之和共有种不同的结果．

(5)、问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．

(6)、拓展延伸：

从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）

(7)、从3，4，5，…，

n + 3

（n为整数，且

n \geq 2

）这

(n + 1)

个整数中任取

a (1 < a < n + 1)

个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．

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24. 已知：如图，在四边形 $A B C D$ 和 $Rt △ E B F$ 中， $A B // C D$ ， $C D > A B$ ，点C在 $E B$ 上， $∠ A B C = ∠ E B F = 90 °$ ， $A B = B E = 8 c m$ ， $B C = B F = 6 c m$ ，延长 $D C$ 交 $E F$ 于点M，点P从点A出发，沿 $A C$ 方向匀速运动，速度为 $2 c m / s$ ；同时，点Q从点M出发，沿 $M F$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ，过点 $P$ 作 $G H ⊥ A B$ 于点H，交 $C D$ 于点G．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 5)$ ．

解答下列问题：

(1)、当 $t$ 为何值时，点M在线段 $C Q$ 的垂直平分线上？

(2)、连接PQ，作 $Q N ⊥ A F$ 于点N，当四边形 $P Q N H$ 为矩形时，求t的值；

(3)、连接 $Q C$ ， $Q H$ ，设四边形 $Q C G H$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求S与t的函数关系式；

(4)、点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 $∠ A F E$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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应聘者项目	甲	乙
学历	9	8
经验	7	6
工作态度	5	7