山东省聊城2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数-1， $- \sqrt{2}$ ，0， $\frac{1}{4}$ 中，最小的实数是（）．

A、-1 B、 $\frac{1}{4}$ C、0 D、 $- \sqrt{2}$

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2. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在 $△$ ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）

A、120° B、130° C、145° D、150°

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4. 下列计算正确的是（）．

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{- 2} = a^{- 3}$ C、 ${(- 2 a b^{2})}^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$ D、 ${(2 a + b)}^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$

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5. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）

成绩/分

84

88

92

96

100

人数/人

2

4

9

10

5

A、92分，96分 B、94分，96分 C、96分，96分 D、96分，100分

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6. 计算 $\sqrt{45} \div 3 \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{3}{5}}$ 的结果正确的是（）．

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、9

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7. 如图，在 $4 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $\sin ∠ A C B$ 的值为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点M．连接 $O C$ ， $D B$ ．如果 $O C // D B$ ， $O C = 2 \sqrt{3}$ ，那么图中阴影部分的面积是（）．

A、π B、2π C、3π D、4π

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10. 如图，有一块半径为1m，圆心角为 $90^{°}$ 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．

A、 $\frac{1}{4} m$ B、 $\frac{3}{4} m$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4} m$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} m$

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11. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）．
…

A、150 B、200 C、355 D、505

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ C = 30 °$ ，将 $Rt △ A B C$ 绕点 $A$ 旋转得到 $Rt Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $A C$ 上，在 $B^{'} C^{'}$ 上取点 $D$ ，使 $B^{'} D = 2$ ，那么点 $D$ 到 $B C$ 的距离等于（）．

A、 $2 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、填空题

13. 因式分解： $x (x - 2) - x + 2 =$ ．

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14. 如图，在 $⊙ O$ 中，四边形 $O A B C$ 为菱形，点 $D$ 在 $\overset{⌢}{A m C}$ 上，则 $∠ A D C$ 的度数是．

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15. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．

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16. 如图，在直角坐标系中，点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 3)$ 是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且 $C A = C B$ ，在 $y$ 轴上取一点D，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $B D$ ，使得四边形 $A C B D$ 的周长最小，这个最小周长的值为．

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三、解答题

17. 计算： $(1 + \frac{a}{1 - a}) \div \frac{1}{a^{2} - a} =$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1 < 7 - \frac{3}{2} x \\ \frac{3 x - 2}{3} \geq \frac{x}{3} + \frac{x - 4}{4} \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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19. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次调查的样本容量为；统计图中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、通过计算补全条形统计图；

(3)、该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．

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20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆 $A$ 种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

(1)、求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

(2)、如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．

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21. 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F ，且AF＝AD ，连接BF ，求证：四边形ABFC是矩形．

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22. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

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23. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与直线 $y = a x + b$ 相交于点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (1 ， m)$ ．

(1)、求出直线 $y = a x + b$ 的表达式；

(2)、在x轴上有一点 $P$ 使得 $△ P A B$ 的面积为18，求出点P的坐标．

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24. 如图，在 $△$ ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

(1)、试证明DE是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为5，AC＝6 $\sqrt{10}$ ，求此时DE的长．

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25. 如图，二次函数y＝ax²＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

(1)、求出二次函数y＝ax²＋bx＋4和BC所在直线的表达式；

(2)、在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；

(3)、连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与 $△$ DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

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成绩/分	84	88	92	96	100
人数/人	2	4	9	10	5