湖南省株洲市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. a的相反数为-3，则a等于（）

A、-3 B、3 C、 $\pm 3$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ B、 $2 a - a = 2$ C、 ${(a^{2})}^{5} = a^{7}$ D、 ${(- 3 b)}^{2} = 6 b^{2}$

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3. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 数据12、15、18、17、10、19的中位数为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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6. 下列哪个数是不等式 $2 (x - 1) + 3 < 0$ 的一个解？（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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7. 在平面直角坐标系中，点 $A (a ， 2)$ 在第二象限内，则a的取值可以是（）

A、1 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4或-4

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8. 下列不等式错误的是（）

A、 $- 2 < - 1$ B、 $π < \sqrt{17}$ C、 $\frac{5}{2} > \sqrt{10}$ D、 $\frac{1}{3} > 0.3$

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9. 如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点 $A_{1}$ ，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）

A、 $4 π$ B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8}{3} π$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a b < 0$ ， $a - b^{2} > 0$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在该二次函数的图象上，其中 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 0$ ，则（）

A、 $y_{1} = - y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小无法确定

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二、填空题

11. 关于x的方程 $3 x - 8 = x$ 的解为 $x =$ ．

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12. 因式分解： $2 a^{2} - 12 a =$ ．

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13. 计算 $\frac{\sqrt{2}}{3} \times (\sqrt{8} + \sqrt{2})$ 的结果是．

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14. 王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：

尺码

S

M

L

XL

XXL

XXL

频率

0.05

0.1

0.2

0.325

0.3

0.025

则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有个．

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15. 一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则 $∠ M O N =$ 度．

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16. 如图所示，点D、E分别是 $△ A B C$ 的边AB、AC的中点，连接BE，过点C做 $C F / / B E$ ，交DE的延长线于点F，若 $E F = 3$ ，则DE的长为．

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17. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ，k为常数且 $k > 2$ ）的图象上，边AB与函数 $y_{2} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（结果用含k的式子表示）

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18. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + | - 1 | - \sqrt{3} \tan 60 °$ ．

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20. 先化简，再求值： $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{y}{x + y} - 1$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = 2$ ．

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21. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点A、B分别在 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上，斜坡AB的长为18米，过点B作 $B C ⊥ l_{1}$ 于点C，且线段AC的长为 $2 \sqrt{6}$ 米．

(1)、求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）

(2)、为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚 $α$ 为60°，过点M作 $M N ⊥ l_{1}$ 于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

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22. 近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：

(1)、求该数据中每天代寄包裹数在 $50.5 ~ 200.5$ 范围内的天数；

(2)、若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．
①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？

②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：

重量G（单位：千克）

$2 < G \leq 3$

$3 < G \leq 4$

$4 < G \leq 5$

件数（单位：件）

15

10

15

求这40件包裹收取费用的平均数．

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23. 如图所示， $△ B E F$ 的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足 $△ A B F ≌ △ C B E$ ．

(1)、求证： $∠ E B F = 90 °$ ．

(2)、若正方形ABCD的边长为1， $C E = 2$ ，求 $\tan ∠ A F C$ 的值．

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24. AB是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足 $∠ B C M = ∠ B A C = α$ ．

(1)、如图①，求证：直线MN是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图②，点D在线段BC上，过点D作 $D H ⊥ M N$ 于点H，直线DH交 $⊙ O$ 于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且 $C E = \frac{5}{3}$ ，若 $⊙ O$ 的半径为1， $\cos α = \frac{3}{4}$ ，求 $A G \cdot E D$ 的值．

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25. 如图所示， $△ O A B$ 的顶点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且 $A E = 1$ ．

(1)、若点E为线段OC的中点，求k的值；

(2)、若 $△ O A B$ 为等腰直角三角形， $∠ A O B = 90 °$ ，其面积小于3．
①求证： $△ O A E ≌ △ B O F$ ；

②把 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 称为 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 两点间的“ZJ距离”，记为 $d (M ， N)$ ，求 $d (A ， C) + d (A ， B)$ 的值．

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26. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图像（记为抛物线 $Γ$ ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、若 $a = c$ ， $b = - 3$ ，且过点 $(1 ， - 1)$ ，求该二次函数的表达式；

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的判别式 $Δ^{'} = 4$ ．求证：当 $b < - \frac{5}{2}$ 时，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图像与x轴没有交点．

(3)、若 $A B^{2} = \frac{c^{2} - 2 c + 6}{c}$ ，点P的坐标为 $(- \sqrt{x_{0}} ， - 1)$ ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 $Γ$ 顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 $Γ$ 交于点D，若 $∠ O P B = ∠ D A B$ ，求 $x_{0}$ 的最小值．

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重量G（单位：千克）	$2 < G \leq 3$	$3 < G \leq 4$	$4 < G \leq 5$
件数（单位：件）	15	10	15

尺码	S	M	L	XL	XXL	XXL
频率	0.05	0.1	0.2	0.325	0.3	0.025