湖南省张家界市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $\frac{1}{2020}$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{2020}$ B、 $\frac{1}{2020}$ C、2020 D、02020

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2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ D、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$

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4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（）

A、了解澧水河的水质，采用抽样调查． B、了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查． C、了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查． D、了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形，已知 $∠ B C D$ 为 $120^{°}$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $100^{°}$ B、 $110^{°}$ C、 $120^{°}$ D、 $130^{°}$

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6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）

A、 $\frac{x + 2}{3} = \frac{x}{2} - 9$ B、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$ C、 $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x + 9}{2}$ D、 $\frac{x - 2}{3} = \frac{x}{2} + 9$

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7. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的底边长为（）

A、2 B、4 C、8 D、2或4

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8. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P ，作x轴的平行线，分别与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 和 $y = \frac{8}{x}$ 的图象交于点A和点B ，若点C是x轴上任意一点，连接 $A C ， B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、14

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二、填空题

9. 因式分解： $x^{2} - 9$ =.

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10. 今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为元．

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11. 如图， $∠ A O B$ 的一边 $O A$ 为平面镜， $∠ A O B = 38^{°}$ ，一束光线（与水平线 $O B$ 平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在 $O B$ 上的点E处，则 $∠ D E B$ 的度数是度．

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12. 新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 $C E F G$ 位置，使得点B落在对角线 $C F$ 上，则阴影部分的面积是．

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14. 观察下面的变化规律：
$\frac{2}{1 \times 3} = 1 - \frac{1}{3} ， \frac{2}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} ， \frac{2}{5 \times 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ， \frac{2}{7 \times 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$ ，……

根据上面的规律计算：

$\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{2019 \times 2021} =$ ．

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三、解答题

15. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 \sin 45^{°} + {(3.14 - π)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，过对角线 $B D$ 的中点O作 $B D$ 的垂线 $E F$ ，分别交 $A D ， B C$ 于点 $E ， F$ ．

(1)、求证： $△ D O E ≌ △ B O F$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A D = 8$ ，连接 $B E ， D F$ ，求四边形 $B F D E$ 的周长．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{4}{x - 1} - \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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18. 为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：

D组成绩的具体情况是：

分数（分）	93	95	97	98	99
人数（人）	2	3	5	2	1

根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、请补全条形统计图；

(2)、D组成绩的中位数是分；

(3)、假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？

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19. 今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．

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20. 阅读下面的材料：
对于实数 $a ， b$ ，我们定义符号 $\min {a ， b}$ 的意义为：当 $a < b$ 时， $\min {a ， b} = a$ ；当 $a ⩾ b$ 时， $\min {a ， b} = b$ ，如： $\min {4 ， - 2} = - 2 ， \min {5 ， 5} = 5$ ．

根据上面的材料回答下列问题：

(1)、 $\min {- 1 ， 3} =$ ；

(2)、当 $\min {\frac{2 x - 3}{2} ， \frac{x + 2}{3}} = \frac{x + 2}{3}$ 时，求x的取值范围．

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21. “南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以 $9m/s$ 的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为 $37^{°}$ ，继续飞行 $6s$ 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为 $45^{°}$ ，已知“南天一柱”的高为 $150m$ ，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据： $\sin 37^{°} \approx 0.60$ ， $\cos 37^{°} \approx 0.80$ ， $\tan 37^{°} \approx 0.75$ ）

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，过点C作直线 $C D$ 交 $A B$ 的延长线于点D ，使 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证： $C D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，且分别交 $A C ， B C$ 于点 $E ， F$ ，当 $C E = 2$ 时，求 $E F$ 的长．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 6 x + c$ 交x轴于 $A ， B$ 两点，交y轴于点C ．直线 $y = - x + 5$ 经过点 $B ， C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线的对称轴l与直线 $B C$ 相交于点P ，连接 $A C ， A P$ ，判定 $△ A P C$ 的形状，并说明理由；

(3)、在直线 $B C$ 上是否存在点M ，使 $A M$ 与直线 $B C$ 的夹角等于 $∠ A C B$ 的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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