湖南省湘西市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中，比 $- 2$ 小的数是（）

A、0 B、-1 C、-3 D、3

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2. 2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（）

A、 $0.927 \times 10^{5}$ B、 $9.27 \times 10^{4}$ C、 $92.7 \times 10^{3}$ D、 $927 \times 10^{2}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 ${(- 3 a)}^{2} = 9 a^{2}$

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4. 如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 从长度分别为 $1cm$ 、 $3cm$ 、 $5cm$ 、 $6cm$ 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 已知 $∠ A O B$ ，作 $∠ A O B$ 的平分线 $O M$ ，在射线 $O M$ 上截取线段 $O C$ ，分别以O、C为圆心，大于 $\frac{1}{2} O C$ 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 $E F$ ，分别交 $O A$ 于D，交 $O B$ 于G．那么， $△ O D G$ 一定是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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7. 已知正比例函数 $y_{1}$ 的图象与反比例函数 $y_{2}$ 的图象相交于点 $A (- 2 ， 4)$ ，下列说法正确的是（）

A、正比例函数 $y_{1}$ 的解析式是 $y_{1} = 2 x$ B、两个函数图象的另一交点坐标为 $(4 ， - 2)$ C、正比例函数 $y_{1}$ 与反比例函数 $y_{2}$ 都随x的增大而增大 D、当 $x < - 2$ 或 $0 < x < 2$ 时， $y_{2} < y_{1}$

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8. 如图， $P A$ 、 $P B$ 为⊙O的切线，切点分别为A、B， $P O$ 交 $A B$ 于点C， $P O$ 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）

A、 $△ B P A$ 为等腰三角形 B、 $A B$ 与 $P D$ 相互垂直平分 C、点C、B都在以 $P O$ 为直径的圆上 D、 $P C$ 为 $△ B P A$ 的边 $A B$ 上的中线

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $A B C D$ 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 $A B = a ， B C = b ， ∠ D A O = x$ ．则点C到x轴的距离等于（）

A、 $a \cos x + b \sin x$ B、 $a \cos x + b \cos x$ C、 $a \sin x + b \cos x$ D、 $a \sin x + b \sin x$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的对称轴为 $x = 1$ ，其图象如图所示，现有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b - 2 a < 0$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④ $a + b > n (a n + b) ， (n \neq 1)$ ；⑤ $2 c < 3 b$ ．正确的是（）

A、①③ B、②⑤ C、③④ D、④⑤

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二、填空题

11. - $\frac{1}{3}$ 的绝对值是。

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12. 分解因式： $2 m^{2} - 2$ = ．

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13. 若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是边形.

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14. 不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} ⩾ - 1 \\ 1 + 2 x \geq - 1 \end{array}$ 的解集为．

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15. 如图，直线 $A E$ ∥ $B C$ ， $B A ⊥ A C$ ，若 $∠ A B C = 54 °$ ，则 $∠ E A C =$ 度．

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16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是 $\bar{x}$ _甲 $\approx 7.5$ ， $\bar{x}$ _乙 $\approx 7.5$ ，方差分别是 $S$ 2甲 $\approx 0.010, S$ 2乙 $\approx 0.002$ ，你认为应该选择的玉米种子是．

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17. 在平面直角坐标系中，O为原点，点 $A (6 ， 0)$ ，点B在y轴的正半轴上， $∠ A B O = 30 °$ ．矩形 $C O D E$ 的顶点D，E，C分别在 $O A ， A B ， O B$ 上， $O D = 2$ ．将矩形 $C O D E$ 沿x轴向右平移，当矩形 $C O D E$ 与 $△ A B O$ 重叠部分的面积为 $6 \sqrt{3}$ 时，则矩形 $C O D E$ 向右平移的距离为．

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18. 观察下列结论：
⑴如图①，在正三角形 $A B C$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = C M$ ， $∠ N O C = 60 °$ ；

⑵如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = D M$ ， $∠ N O D = 90 °$ ；

⑶如图③，在正五边形 $A B C D E$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = E M$ ， $∠ N O E = 108 °$ ；……

根据以上规律，在正n边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \dots \dots A_{n}$ 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 $A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3}$ 上的点，且 $A_{1} M = A_{2} N$ ， $A_{1} N$ 与 $A_{n} M$ 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是．

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三、解答题

19. 计算： $2 \cos 45^{°} + {(π - 2020)}^{°} + | 2 - \sqrt{2} |$ ．

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20. 化简： $(\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1) \div \frac{2 a}{a^{2} - 1}$ ．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧，作等边角形 $A D E$ ，连接 $B E$ 、 $C E$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C D E$ ；

(2)、求 $∠ A E B$ 的度数．

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22. 为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）如图所示

b．七年级参赛学生成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ，79

c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

年级

平均数

中位数

众数

七

76.9

m

80

d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；

(2)、表中m的值为；

(3)、在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；

(4)、该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

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23. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．

(1)、求口罩日产量的月平均增长率；

(2)、按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

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24. 如图， $A B$ 是⊙O的直径， $A C$ 是⊙O的切线， $B C$ 交⊙O于点E．

(1)、若D为 $A C$ 的中点，证明： $D E$ 是⊙O的切线；

(2)、若 $C A = 6$ ， $C E = 3.6$ ，求⊙O的半径 $O A$ 的长．

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25. 如图

(1)、问题背景：如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ M B N = 60 °$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F．探究图中线段 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 $F C$ 到G，使 $C G = A E$ ，连接 $B G$ ，先证明 $△ B C G ≌ △ B A E$ ，再证明 $△ B F C ≌ △ B F E$ ，可得出结论，他的结论就是；

(2)、探究延伸1：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 2 ∠ M B N$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．

(3)、探究延伸2：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $B A = B C$ ， $∠ B A D + ∠ B C D = 180 °$ ， $∠ A B C = 2 ∠ M B N$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．

(4)、实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 $30 °$ 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 $70 °$ 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50 °$ 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70 °$ ，试求此时两舰艇之间的距离．

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26. 已知直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的一个交点为 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是x轴正半轴上的动点．

(1)、当直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

(2)、在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 $S_{△ E Q M} = \frac{1}{2} S_{△ A C E}$ 时，求m的值；

(3)、点D在抛物线上，且点D的横坐标为 $b + \frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2} A M + 2 D M$ 的最小值多 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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年级	平均数	中位数	众数
七	76.9	m	80