湖南省怀化市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列数中，是无理数的是（）

A、-3 B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(2 a b)}^{3} = 6 a^{3} b^{3}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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3. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）

A、 $3.5 \times 10^{6}$ B、 $0.35 \times 10^{7}$ C、 $3.5 \times 10^{2}$ D、 $350 \times 10^{4}$

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4. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）
　

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 如图，已知直线a，b被直线c所截，且 $a / / b$ ，若 $∠ α = 40^{°}$ ，则 $∠ β$ 的度数为（）

A、 $140^{°}$ B、 $50^{°}$ C、 $60^{°}$ D、 $40^{°}$

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6. 小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）

A、众数 B、中位数 C、方差 D、平均数

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7. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点E，若 $B D = 3$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、6

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8. 已知一元二次方程 $x^{2} - k x + 4 = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为（）

A、 $k = 4$ B、 $k = - 4$ C、 $k = \pm 4$ D、 $k = \pm 2$

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9. 在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，若 $△ A O B$ 的面积为2，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图像如图所示、则当 $y_{1} > y_{2}$ 时，自变量x的取值范围为（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 3$ C、 $0 < x < 1$ D、 $1 < x < 3$

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二、填空题

11. 代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 有意义，则x的取值范围是.

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12. 若因式分解： $x^{3} - x =$ ．

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13. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为分．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 中， $A B = A D$ ， $B C = D C$ ， $∠ B = 130^{°}$ ，则 $∠ D$ º．

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15. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．

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16. 如图， $△ O B_{1} A_{1}$ ， $△ A_{1} B_{2} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{3} A_{3}$ ，…， $△ A_{n - 1} B_{n} A_{n}$ ，都是一边在x轴上的等边三角形，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，…， $B_{n}$ 都在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…， $A_{n}$ ，都在x轴上，则 $A_{n}$ 的坐标为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{8} + 2^{- 2} - 2 \cos 45^{°} + | 2 - \sqrt{2} |$

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18. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，然后从-1，0，1中选择适当的数代入求值．

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19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

(1)、本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；

(2)、请你将条形统计图补全；

(3)、若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？

(4)、本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．

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20. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知： $\sqrt{2} = 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

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21. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

(1)、下面四边形是垂等四边形的是（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)、图形判定：如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $A C ⊥ B D$ ，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且 $∠ D B C = 45 °$ ，证明：四边形 $A B C D$ 是垂等四边形．

(3)、由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $A B C D$ 内接于⊙O中， $∠ B C D = 60 °$ ．求⊙O的半径．

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22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

(1)、设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．

(2)、若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

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23. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且 $∠ D = 30 °$ ．

(1)、求证： $C D$ 是⊙O的切线．

(2)、分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证： $C G^{2} = A E \cdot B F$ ．

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24. 如图所示，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

(1)、求点C及顶点M的坐标．

(2)、若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $B N 、 C N$ 求 $△ B C N$ 面积的最大值及此时点N的坐标．

(3)、若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

(4)、直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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