湖南省衡阳市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －3相反数是（）

A、3 B、－3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下列各式中，计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ B、 $a^{3} - a^{2} = a$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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3. 2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{8}$ B、 $1.2 \times 10^{7}$ C、 $1.2 \times 10^{9}$ D、 $1.2 \times 10^{- 8}$

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4. 下列各式中正确的是（）

A、 $- | - 2 | = 2$ B、 $\sqrt{4} = \pm 2$ C、 $\sqrt[3]{9} = 3$ D、 $3^{0} = 1$

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5. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x = 1$ D、 $x \neq 0$

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7. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A、AB∥DC ， AB=DC B、AB=DC ， AD=BC C、AB∥DC ， AD=BC D、OA=OC ， OB=OD

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8. 下列不是三棱柱展开图的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \leq 0 ， ① \\ \frac{x + 2}{3} - \frac{x}{2} < 1 ② \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $(2, 1)$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $k = 2$ B、函数图象分布在第一、三象限 C、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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12. 如图1，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 在第一象限，且 $B C // x$ 轴．直线 $y = x$ 从原点 $O$ 出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被 $▱ A B C D$ 截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么 $▱ A B C D$ 的面积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 因式分解： $a^{2} + a =$ ．

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14. 计算： $\frac{x^{2} + x}{x} - x =$ ．

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15. 已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．

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16. 一副三角板如图摆放，且 $A B // C D$ ，则∠1的度数为．

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17. 某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P_{1}$ 的坐标 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，将线段 $O P_{1}$ 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 $O P_{1}$ 的2倍，得到线段 $O P_{2}$ ；又将线段 $O P_{2}$ 绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 $O P_{2}$ 的2倍，得到线段 $O P_{3}$ ；如此下去，得到线段 $O P_{4}$ 、 $O P_{5}$ ，……， $O P_{n}$ （n为正整数），则点 $P_{2020}$ 的坐标是．

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三、解答题

19. 化简： $b (a + b) + (a + b) (a - b)$ ．

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20. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求n的值；

(2)、所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．

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21. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，过 $B C$ 的中点D作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点E、F．

(1)、求证： $D E = D F$ ；

(2)、若 $∠ B D E = 40 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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22. 病毒虽无情，人间有大爱.2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： $100 \leq x < 500$ ， $500 \leq x < 900$ ， $900 \leq x < 1300$ ， $1300 \leq x < 1700$ ， $1700 \leq x < 2100$ ， $2100 \leq x < 2500$ ．）

根据以上信息回答问题：

(1)、补全频数分布直方图．

(2)、求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：

$C$ 市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；

$H$ 市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；

$B$ 市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．

(3)、请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）

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23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 $O B$ 与底板的边缘线 $O A$ 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上， $O A = O B = 24 cm$ ， $B C ⊥ A C$ ， $∠ O A C = 30 °$ ．

(1)、求 $O C$ 的长；

(2)、如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 $O B^{'}$ 与水平线的夹角仍保持120°，求点 $B^{'}$ 到 $A C$ 的距离．（结果保留根号）

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24. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段 $A B$ 上， $⊙ O$ 交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F．

(1)、判断 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A D = 8$ ， $A E = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，关于x的二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，y的最大值与最小值的差；

(3)、一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 $a < 3 < b$ ，求m的取值范围．

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26. 如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，等腰 $Δ A B C$ 的底边 $B C$ 在x轴上， $B C = 8$ ，顶点A在y的正半轴上， $O A = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3 ， 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $C B$ 向左运动，到达 $O B$ 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿 $C B$ 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以 $E F$ 为边作正方形 $E F G H$ ，使正方形 $E F G H$ 和 $Δ A B C$ 在 $B C$ 的同侧．设运动的时间为 $t$ 秒（ $t \geq 0$ ）．

(1)、当点H落在 $A C$ 边上时，求t的值；

(2)、设正方形 $E F G H$ 与 $Δ A B C$ 重叠面积为S，请问是存在t值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，取 $A C$ 的中点D，连结 $O D$ ，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $O D - D C - C D - D O$ 运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形 $E F G H$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形 $E F G H$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

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