黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各运算中，计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot 2 a^{2} = 2 a^{4}$ B、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - x y + y^{2}$ D、 ${(- 3 x^{2})}^{3} = - 9 x^{6}$

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2. 下列图标中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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4. 一组从小到大排列的数据: $a$ ,3,4,4,6( $a$ 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）

A、3.6或4.2 B、3.6或3.8 C、3.8或4.2 D、3.8或4.2

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 2 k = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则实数k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{1}{4}$ B、 $k \leq \frac{1}{4}$ C、 $k > 4$ D、 $k \leq \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 的两个顶点A，C在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点恰好是坐标原点O，已知 $B (- 1 ， 1)$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则k的值是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} - 4 = \frac{k}{2 - x}$ 的解为正数，则c的取值范围是（）

A、 $- 8 < k < 0$ B、 $k > - 8$ 且 $k \neq - 2$ C、 $k > - 8$ D、 $k < 4$ 且 $k \neq - 2$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，过点D作 $D H ⊥ A B$ 于点H，连接 $O H$ ，若 $O A = 6$ ， $S_{菱形 A B C D} = 48$ ，则 $O H$ 的长为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、6

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9. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）

A、12种 B、15种 C、16种 D、14种

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为a，点E在边 $A B$ 上运动（不与点A，B重合）， $∠ D A M = 45 °$ ，点 $F$ 在射线 $A M$ 上，且 $A F = \sqrt{2} B E$ ， $C F$ 与 $A D$ 相交于点G，连接 $E C$ 、 $E F$ 、 $E G$ ．则下列结论：① $∠ E C F = 45 °$ ；② $Δ A E G$ 的周长为 $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) a$ ；③ $B E^{2} + D G^{2} = E G^{2}$ ；④ $Δ E A F$ 的面积的最大值是 $\frac{1}{8} a^{2}$ ；⑤当 $B E = \frac{1}{3} a$ 时，G是线段 $A D$ 的中点．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、②④⑤ C、①③④ D、①④⑤

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二、填空题

11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为.

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12. 函数y= $\frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 如图， $R t Δ A B C$ 和 $R t Δ E D F$ 中， $∠ B = ∠ D$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使 $R t Δ A B C$ 和 $R t Δ E D F$ 全等．

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14. 一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．

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15. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ 2 x - a < 0 \end{array}$ 有2个整数解，则a的取值范围是．

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16. 如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B A D = 40 °$ ，则 $∠ A C B =$ $°$ ．

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17. 小明在手工制作课上，用面积为 $150 π c m^{2}$ ，半径为 $15 c m$ 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 $c m$ ．

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18. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中将 $Δ A B D$ 沿射线 $B D$ 平移，得到 $Δ E G F$ ，连接 $E C$ 、 $G C$ ．求 $E C + G C$ 的最小值为．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = a$ ，点E在边 $B C$ 上，且 $B E = \frac{3}{5} a$ ，连接 $A E$ ，将 $Δ A B E$ 沿 $A E$ 折叠．若点B的对应点 $B^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的边上，则折痕的长为．

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20. 如图，直线 $A M$ 的解析式为 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴交于点M，与y轴交于点A，以 $O A$ 为边作正方形 $A B C O$ ，点B坐标为 $(1 ， 1)$ ．过点B作 $E O_{1} ⊥ M A$ 交 $M A$ 于点E，交x轴于点 $O_{1}$ ，过点 $O_{1}$ 作x轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_{1}$ 以 $O_{1} A_{1}$ 为边作正方形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $B_{1}$ 的坐标为 $(5 ， 3)$ ．过点 $B_{1}$ 作 $E_{1} O_{2} ⊥ M A$ 交 $M A$ 于 $E_{1}$ ，交x轴于点 $O_{2}$ ，过点 $O_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_{2}$ ，以 $O_{2} A_{2}$ 为边作正方形 $O_{2} A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $\dots$ ，则点 $B_{2020}$ 的坐标．

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $(2 - \frac{x - 1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3 \tan 30 ° - 3$ ．

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22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (5 ， 2)$ 、 $B (5 ， 5)$ 、 $C (1 ， 1)$ 均在格点上

(1)、将 $Δ A B C$ 向左平移5个单位得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $Δ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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23. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P A B = ∠ A B C$ ，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

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24. 为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：

(1)、该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；

(2)、该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；

(3)、从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

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25. 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

(1)、求 $M E$ 的函数解析式；

(2)、求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．

(3)、求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

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26. 如图①，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D、E分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上， $D C = E C$ ，连接 $D E$ 、 $A E$ 、 $B D$ ，点M、N、P分别是 $A E$ 、 $B D$ 、 $A B$ 的中点，连接 $P M$ 、 $P N$ 、 $M N$ ．

(1)、 $B E$ 与 $M N$ 的数量关系是．

(2)、将 $Δ D E C$ 绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 $B E$ 与 $M N$ 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

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27. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．

(1)、该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案

(3)、在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 $20 %$ ，求a的最大值．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 长是方程 $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ 的根，连接 $B D$ ， $∠ D B C = 30 °$ ，并过点 $C$ 作 $C N ⊥ B D$ ，垂足为 $N$ ，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿 $B D$ 方向匀速运动到点D为止；点M沿线段 $D A$ 以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒 $(t > 0)$

(1)、线段 $C N =$ ；

(2)、连接 $P M$ 和 $M N$ ，求 $Δ P M N$ 的面积s与运动时间 $t$ 的函数关系式；

(3)、在整个运动过程中，当 $Δ P M N$ 是以 $P N$ 为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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