河北省2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

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2. 墨迹覆盖了等式“ $x^{3}$ $x = x^{2}$ （ $x \neq 0$ ）”中的运算符号，则覆盖的是（）

A、＋ B、－ C、× D、÷

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3. 对于① $x - 3 x y = x (1 - 3 y)$ ，② $(x + 3) (x - 1) = x^{2} + 2 x - 3$ ，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、都是乘法运算 C、①是因式分解，②是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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4. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）

A、仅主视图不同 B、仅俯视图不同 C、仅左视图不同 D、主视图、左视图和俯视图都相同

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5. 如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a=（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6. 如图1，已知 $∠ A B C$ ，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线 BA ， BC 于点D，E；

第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 内部交于点P；

第三步：画射线 BP ．射线 BP 即为所求．

下列正确的是（）

A、a，b均无限制 B、 $a > 0$ ， $b > \frac{1}{2} D E$ 的长 C、a有最小限制，b无限制 D、 $a \geq 0$ ， $b < \frac{1}{2} D E$ 的长

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7. 若 $a \neq b$ ，则下列分式化简正确的是（）

A、 $\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a - 2}{b - 2} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a}{b}$ D、 $\frac{\frac{1}{2} a}{\frac{1}{2} b} = \frac{a}{b}$

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8. 在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 $A B C D$ 的位似图形是（）

A、四边形 $N P M Q$ B、四边形 $N P M R$ C、四边形 $N H M Q$ D、四边形 $N H M R$

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9. 若 $\frac{(9^{2} - 1) (11^{2} - 1)}{k} = 8 \times 10 \times 12$ ，则 $k =$ （）

A、12 B、10 C、8 D、6

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10. 如图，将 $Δ A B C$ 绕边 $A C$ 的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的 $Δ C D A$ 与 $Δ A B C$ 构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，

而点B转到了点D处．

∵ $C B = A D$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵ $C B = A D$ ，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）

A、嘉淇推理严谨，不必补充 B、应补充：且 $A B = C D$ ， C、应补充：且 $A B // C D$ D、应补充：且 $O A = O C$ ，

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11. 若k为正整数，则 ${(\underset{k 个 k}{\underset{︸}{k + k + \cdot \cdot \cdot + k}})}^{k} =$ （）

A、 $k^{2 k}$ B、 $k^{2 k + 1}$ C、 $2 k^{k}$ D、 $k^{2 + k}$

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12. 如图，从笔直的公路 $l$ 旁一点P出发，向西走 $6 km$ 到达 $l$ ；从P出发向北走 $6 km$ 也到达l．下列说法错误的是（）

A、从点P向北偏西45°走 $3 km$ 到达l B、公路l的走向是南偏西45° C、公路l的走向是北偏东45° D、从点P向北走 $3 km$ 后，再向西走 $3 km$ 到达l

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13. 已知光速为300000千米秒，光经过t秒（ $1 \leq t \leq 10$ ）传播的距离用科学记数法表示为 $a \times 10^{n}$ 千米，则n可能为（）

A、5 B、6 C、5或6 D、5或6或7

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14. 有一题目：“已知；点 $O$ 为 $Δ A B C$ 的外心， $∠ B O C = 130 °$ ，求 $∠ A$ ．”嘉嘉的解答为：画 $Δ A B C$ 以及它的外接圆 $O$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ，如图．由 $∠ B O C = 2 ∠ A = 130 °$ ，得 $∠ A = 65 °$ ．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， $∠ A$ 还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）

A、淇淇说的对，且 $∠ A$ 的另一个值是115° B、淇淇说的不对， $∠ A$ 就得65° C、嘉嘉求的结果不对， $∠ A$ 应得50° D、两人都不对， $∠ A$ 应有3个不同值

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15. 如图，现要在抛物线 $y = x (4 - x)$ 上找点 $P (a ， b)$ ，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若 $b = 5$ ，则点P的个数为0；

乙：若 $b = 4$ ，则点P的个数为1；

丙：若 $b = 3$ ，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（）

A、乙错，丙对 B、甲和乙都错 C、乙对，丙错 D、甲错，丙对

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16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A、1，4，5 B、2，3，5 C、3，4，5 D、2，2，4

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二、填空题

17. 已知： $\sqrt{18} - \sqrt{2} = a \sqrt{2} - \sqrt{2} = b \sqrt{2}$ ，则 $a b =$ ．

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18. 正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n= ．

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19. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m}$ （m为1~8的整数）．函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象为曲线L．

(1)、若L过点 $T_{1}$ ，则k=；

(2)、若L过点 $T_{4}$ ，则它必定还过另一点 $T_{m}$ ，则m=；

(3)、若曲线L使得 $T_{1} ~ T_{8}$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．

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三、解答题

20. 已知两个有理数：－9和5．

(1)、计算： $\frac{(- 9) + 5}{2}$ ；

(2)、若再添一个负整数 $m$ ，且－9，5与 $m$ 这三个数的平均数仍小于m，求m的值．

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21. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 $a^{2}$ ，同时B区就会自动减去 $3 a$ ，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．

如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)、从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；

(2)、从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

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22. 如图，点O为 $A B$ 中点，分别延长 $O A$ 到点C， $O B$ 到点D，使 $O C = O D$ ．以点O为圆心，分别以 $O A$ ， $O C$ 为半径在 $C D$ 上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接 $O P$ 并延长交大半圆于点E，连接 $A E$ ， $C P$ ．

(1)、①求证： $Δ A O E ≌ Δ P O C$ ；
②写出∠1，∠2和 $∠ C$ 三者间的数量关系，并说明理由．

(2)、若 $O C = 2 O A = 2$ ，当 $∠ C$ 最大时，直接指出 $C P$ 与小半圆的位置关系，并求此时 $S_{扇形 E O D}$ （答案保留 $π$ ）．

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23. 用承重指数 $W$ 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当 $x = 3$ 时， $W = 3$ ．

(1)、求W与x的函数关系式．

(2)、如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为 $x$ （厘米）， $Q = W_{厚} - W_{薄}$ ．
①求Q与x的函数关系式；

② $x$ 为何值时，Q是 $W_{薄}$ 的3倍？

（注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围）

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24. 表格中的两组对应值满足一次函数 $y = k x + b$ ，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 $l^{'}$ ．

x

－1

0

y

－2

1

(1)、求直线l的解析式；

(2)、请在图上画出直线 $l^{'}$ （不要求列表计算），并求直线 $l^{'}$ 被直线l和y轴所截线段的长；

(3)、设直线 $y = a$ 与直线l， $l^{'}$ 及 $y$ 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

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25. 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

(1)、经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；

(2)、从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点 $O$ 最近时 $n$ 的值；

(3)、从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．

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26. 如图1和图2，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 8$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ．点K在 $A C$ 边上，点M，N分别在 $A B$ ， $B C$ 上，且 $A M = C N = 2$ ．点P从点M出发沿折线 $M B - B N$ 匀速移动，到达点N时停止；而点Q在 $A C$ 边上随P移动，且始终保持 $∠ A P Q = ∠ B$ ．

(1)、当点P在 $B C$ 上时，求点P与点A的最短距离；

(2)、若点P在 $M B$ 上，且 $P Q$ 将 $Δ A B C$ 的面积分成上下4：5两部分时，求 $M P$ 的长；

(3)、设点 $P$ 移动的路程为x，当 $0 \leq x \leq 3$ 及 $3 \leq x \leq 9$ 时，分别求点P到直线 $A C$ 的距离（用含x的式子表示）；

(4)、在点 $P$ 处设计并安装一扫描器，按定角 $∠ A P Q$ 扫描 $Δ A P Q$ 区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若 $A K = \frac{9}{4}$ ，请直接写出点K被扫描到的总时长．

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x	－1	0
y	－2	1