北京市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、三棱锥 D、长方体

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2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.36 \times 10^{5}$ B、 $3.6 \times 10^{5}$ C、 $3.6 \times 10^{4}$ D、 $36 \times 10^{4}$

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3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）

A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1＞∠4+∠5 D、∠2＜∠5

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4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 正五边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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6. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 $b$ 满足 $- a < b < a$ ，则b的值可以是（）

A、2 B、-1 C、-2 D、-3

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7. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、一次函数关系 C、二次函数关系 D、反比例函数关系

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二、填空题

9. 若代数式 $\frac{1}{x - 7}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值是．

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11. 写出一个比 $\sqrt{2}$ 大且比 $\sqrt{15}$ 小的整数．

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12. 方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 3 x + y = 7 \end{array}$ 的解为．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为 $y_{1} ， y_{2}$ ，则 $y_{1} + y_{2}$ 的值为．

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14. 在 $△$ ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明 $△$ ABD≌ $△$ ACD，这个条件可以是（写出一个即可）

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15. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则 $△$ ABC的面积与 $△$ ABD的面积的大小关系为： $S_{△ A B C}$ $S_{△ A B D}$ （填“＞”，“＝”或“＜”）

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16. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{18} + | - 2 | - 6 \sin 45 °$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x - 3 > 2 x \\ \frac{2 x - 1}{3} < \frac{x}{2} \end{array}$

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19. 已知 $5 x^{2} - x - 1 = 0$ ，求代数式 $(3 x + 2) (3 x - 2) + x (x - 2)$ 的值．

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20. 已知：如图， $△$ ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= $\frac{1}{2} ∠ B A C$ ．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP= ．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC（）（填推理依据）

∴∠ABP= $\frac{1}{2}$ ∠BAC

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21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、求证：四边形OEFG是矩形；

(2)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点(1，2)．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = k x + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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23. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

(1)、求证：∠ADC=∠AOF；

(2)、若sinC= $\frac{1}{3}$ ，BD=8，求EF的长．

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24. 小云在学习过程中遇到一个函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)

．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

(1)、当

- 2 \leq x < 0

时，对于函数

y_{1} = | x |

，即

y_{1} = - x

，当

- 2 \leq x < 0

时，

y_{1}

随x的增大而，且

y_{1} > 0

；对于函数

y_{2} = x^{2} - x + 1

，当

- 2 \leq x < 0

时，

y_{2}

随x的增大而，且

y_{2} > 0

；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数

y

，当

- 2 \leq x < 0

时，y随x的增大而．

(2)、当

x \geq 0

时，对于函数

y

，当

x \geq 0

时，y与x的几组对应值如下表：

x	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
y	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数y的图象．

(3)、过点(0，m)（

m > 0

）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)

的图象有两个交点，则m的最大值是．

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25. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

时段

1日至10日

11日至20日

21日至30日

平均数

100

170

250

(1)、该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）

(2)、已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；

(3)、记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2} ，$ 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2} ， s_{3}^{2}$ 的大小关系．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1} ， x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c ；$

(2)、设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求t的取值范围．

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27. 在 $△ A B C$ 中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

(1)、如图1，当E是线段AC的中点时，设 $A E = a ， B F = b$ ，求EF的长（用含 $a ， b$ 的式子表示）；

(2)、当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'} ， B^{'}$ 分别为点A，B的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

(1)、如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4}$ 中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；

(2)、若点A，B都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

(3)、若点A的坐标为 $(2 ， \frac{3}{2})$ ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

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时段	1日至10日	11日至20日	21日至30日
平均数	100	170	250