浙江省七彩阳光新高考研究联盟2019-2020学年高二下学期数学阶段性评估试卷

试卷更新日期：2020-07-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ ， $\bar{z}$ 表示复数z的共轭复数，则复数 $i \bar{z}$ 的模是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、25 C、5 D、6

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3. 若曲线 $f (x) = a x - \ln (x + 1)$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = 3 x$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{9}$ 展开式中的常数项为（）

A、36 B、84 C、72 D、126

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5. 设l，m是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l // α$ ， $m \subset α$ ，则 $l // m$ C、若 $α // β$ ， $m ⊄ β$ ， $m // α$ ，则 $m // β$ D、若 $l // α$ ， $m // α$ ，则 $l // m$

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6. 在 $△ A B C$ 中，“ $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ”是“ $△ A B C$ 为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 定点 $P (3 ， 0)$ ，动点Q在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上，线段 $P Q$ 的垂直平分线交 $O Q$ 于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）

A、圆 B、直线 C、双曲线 D、椭圆

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8. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，平面 $A B C$ 外一点P满足 $P A = P B = P C = 2 \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积是（）

A、 $32 π$ B、 $36 π$ C、 $25 π$ D、 $16 π$

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9. 已知第一象限内的点M既在双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，又在抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C_{1}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $C_{2}$ 的焦点为 $F_{2}$ ，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 是以 $M F_{1}$ 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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10. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A B = A C = 1$ ，侧面 $P B C$ 为正三角形.若三棱锥 $P - A B C$ 的体积 $V_{P - A B C} \geq \frac{1}{6}$ ，则线段 $P A$ 长度的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[1 ， \sqrt{3}]$

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二、双空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点坐标是；渐近线方程是.

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12. 设 ${(x - 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ .

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13. 如图，在底面边长均为2，高为1的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别为 $B C$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E$ 、 $C F$ 所成角的大小为；平面 $A_{1} E F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成锐二面角的余弦值为.

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14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积是．

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三、填空题

15. 2020年2月为支援湖北抗疫，浙江某医院派出3名医生和4名护士去湖北三家不同的医院抗疫，每家医院至少分到1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有种.（用数字表示）.

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16. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $k x + y - 3 = 0 (k \neq 0)$ 上一动点， $P A$ ， $P B$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 的两条切线，A，B是切点，若四边形 $P A C B$ 的最小面积是1，则k的值为.

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17. 若点 $P (3, 1)$ 在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上，A，B两点也在椭圆上，且直线 $A P$ 与直线 $B P$ 关于直线 $y = 1$ 对称，则直线 $A B$ 的斜率为.

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四、解答题

18. 已知直线 $l_{1} : x + 2 a y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 7 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求实数a的值.

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19. 如图，在梯形 $A B C D$ 中 $A B // C D$ ， $A D = C D = C B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，矩形 $A C F E$ 中， $A E = 2$ ，又有 $B F = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C F E$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值.

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20. 已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 m y + 2 m^{2} - 2 m + 1 = 0$ 表示一个圆.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，若圆C与直线 $x + a y - 1 = 0$ 交于A，B两点（其中C为圆心）， $△ A B C$ 是直角三角形，求实数a的值.

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21. 设函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - 2 \ln x$ ， $g (x) = \frac{2 e}{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若在 $[1 ， e]$ 上至少存在一个 $x_{0}$ ，满足 $f (x_{0}) > g (x_{0})$ ，求实数a的取值范围.

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22. 已知点 $A (a, 0) (a > 0)$ ，直线 $l : x = - a$ 上有两点E，F使 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 0$ ，点P在线段 $F O$ 的延长线上，且 $\vec{E P} // \vec{O A}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求点P的轨迹方程；

(2)、若在点P的轨迹上存在两点M，N，设 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ 的夹角为 $θ$ .
①若 $θ = 90 °$ ，求证：直线 $M N$ 过定点，并求定点坐标；

②若 $θ$ 为锐角，求直线 $M N$ 与x轴交点横坐标的取值范围.

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