2020年高考数学真题分类汇编专题15：参数方程、不等式与矩阵

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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2. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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二、解答题

3. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - t - t^{2} ， \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{matrix}$ (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

(1)、求| $A B$ |：

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

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4. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - t - t^{2} \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{array}$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

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5. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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6. 已知曲线C₁ ， C₂的参数方程分别为C₁： ${\begin{array}{l} x = 4 \cos^{2} θ ， \\ y = 4 \sin^{2} θ \end{array}$ （θ为参数），C₂： ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t}, \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}$ （t为参数）.

(1)、将C₁ ， C₂的参数方程化为普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C₁ ， C₂的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

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7. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - 2 a + 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) ⩾ 4$ 的解集；

(2)、若 $f (x) ⩾ 4$ ，求a的取值范围.

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8. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos^{k} t, \\ y = \sin^{k} t \end{array}$ $(t$ 为参数 $)$ ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 ρ \cos θ - 16 ρ \sin θ + 3 = 0$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时， $C_{1}$ 是什么曲线？

(2)、当 $k = 4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．

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9. 设 $x \in R$ ，解不等式 $2 | x + 1 | + | x | \leq 4$ ．

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10. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点 $A (ρ_{1}, \frac{π}{3})$ 在直线 $l : ρ \cos θ = 2$ 上，点 $B (ρ_{2}, \frac{π}{6})$ 在圆 $C : ρ = 4 \sin θ$ 上（其中 $ρ \geq 0$ ， $0 \leq θ < 2 π$ ）．

(1)、求 $ρ_{1}$ ， $ρ_{2}$ 的值

(2)、求出直线l与圆C的公共点的极坐标．

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11. [选修4-2：矩阵与变换]
平面上点 $A (2, - 1)$ 在矩阵 $M = [\begin{array}{l} a 1 \\ - 1 b \end{array}]$ 对应的变换作用下得到点 $B (3, - 4)$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求矩阵M的逆矩阵 $M^{- 1}$ ．

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