2020年高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设一组样本数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的方差为0.01，则数据10x₁ ， 10x₂ ， …，10x_n的方差为（）

A、0.01 B、0.1 C、1 D、10

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2. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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3. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{4} p_{i} = 1$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A、 $p_{1} = p_{4} = 0.1, p_{2} = p_{3} = 0.4$ B、 $p_{1} = p_{4} = 0.4, p_{2} = p_{3} = 0.1$ C、 $p_{1} = p_{4} = 0.2, p_{2} = p_{3} = 0.3$ D、 $p_{1} = p_{4} = 0.3, p_{2} = p_{3} = 0.2$

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4. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）

A、10名 B、18名 C、24名 D、32名

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6. $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中x³y³的系数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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7. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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8. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A、62% B、56% C、46% D、42%

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9. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A、120种 B、90种 C、60种 D、30种

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10. 从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： $mm$ ），将所得数据分为9组： $[5.31 ， 5.33) ， [5.33 ， 5.35) ， \dots ， [5.45 ， 5.47] ， [5.47 ， 5.49]$ ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 $[5.43 ， 5.47)$ 内的个数为（）

A、10 B、18 C、20 D、36

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11. 在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、-5 B、5 C、-10 D、10

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二、填空题

12. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

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14. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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15. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

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16. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

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17. 已知一组数据 $4, 2 a, 3 - a, 5, 6$ 的平均数为4，则a的值是.

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18. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝；E（ξ）＝．

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19. 设（1+2x）⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₄＝；a₁+a₂+a₃＝．

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三、解答题

20. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

(1)、分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)、求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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21. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)、求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

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22. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表

等级

A

B

C

D

频数

40

20

20

20

乙分厂产品等级的频数分布表

等级

A

B

C

D

频数

28

17

34

21

(1)、分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)、分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

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23. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x_i ， y_i)(i=1，2，…，20)，其中x_i和y_i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1200$ ， $\sum_{i = 1}^{20} （ x_{i} - \bar{x})^{2} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{20} （ y_{i} - \bar{y})^{2} = 9000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} （ x_{i} - \bar{x}) （ y_{i} - \bar{y}) = 800$ .

(1)、求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

(2)、求样本(x_i ， y_i)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

(3)、根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} （ x_{i} - \bar{x}) （ y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} （ x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} （ y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ， $\sqrt{2}$ =1.414.

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24. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，

(1)、求甲连胜四场的概率；

(2)、求需要进行第五场比赛的概率；

(3)、求丙最终获胜的概率.

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25. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的

PM 2.5

和

{SO}_{2}

浓度（单位：

μ {g/m}^{3}

），得下表：

${SO}_{2}$ $PM 2.5$	$[0, 50]$	$(50, 150]$	$(150, 475]$

$[0, 35]$	32	18	4
$(35, 75]$	6	8	12
$(75, 115]$	3	7	10

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$	0.050 0.010 0.001
$k$	3.841 6.635 10.828

(1)、估计事件“该市一天空气中

PM 2.5

浓度不超过75，且

{SO}_{2}

浓度不超过150”的概率；

(2)、根据所给数据，完成下面的

2 \times 2

列联表：

${SO}_{2}$

$PM 2.5$

$[0, 150]$

$(150, 475]$

$[0, 75]$

$(75, 115]$

(3)、根据（2）中的列联表，判断是否有

99 %

的把握认为该市一天空气中

PM 2.5

浓度与

{SO}_{2}

浓度有关？

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26. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n ，恰有2个黑球的概率为p_n ，恰有1个黑球的概率为q_n ．

(1)、求p₁·q₁和p₂·q₂；

(2)、求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．

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27. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

	男生		女生
	支持	不支持	支持	不支持
方案一	200人	400人	300人	100人
方案二	350人	250人	150人	250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

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等级	A	B	C	D
频数	40	20	20	20

等级	A	B	C	D
频数	28	17	34	21