2020年高考数学真题分类汇编专题12：空间几何

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A、6+4 $\sqrt{2}$ B、4+4 $\sqrt{2}$ C、6+2 $\sqrt{3}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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2. 已知△ABC是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）

A、E B、F C、G D、H

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4. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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5. 已知 $A ， B ， C$ 为球O的球面上的三个点，⊙ $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，若⊙ $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $A B = B C = A C = O O_{1}$ ，则球O的表面积为（）

A、 $64 π$ B、 $48 π$ C、 $36 π$ D、 $32 π$

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6. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）

A、20° B、40° C、50° D、90°

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7. 若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $144 π$

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8. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A、 $6 + \sqrt{3}$ B、 $6 + 2 \sqrt{3}$ C、 $12 + \sqrt{3}$ D、 $12 + 2 \sqrt{3}$

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9. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{14}{3}$ C、3 D、6

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二、填空题

10. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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11. 已知直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=60°．以 $D_{1}$ 为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面BCC₁B₁的交线长为．

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12. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm.

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13. 已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为．

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三、解答题

14. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．证明：

(1)、当 $A B = B C$ 时， $E F ⊥ A C$ ；

(2)、点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

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15. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别在棱 $D D_{1} ， B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．

(1)、证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，求二面角 $A - E F - A_{1}$ 的正弦值．

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16. 如图，已知三棱柱ABC–A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点．过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F．

(1)、证明：AA₁//MN，且平面A₁AMN⊥平面EB₁C₁F；

(2)、设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB₁C₁F，且∠MPN= $\frac{π}{3}$ ，求四棱锥B–EB₁C₁F的体积．

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17. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，P为 $D O$ 上一点，∠APC=90°．

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)、设DO= $\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} π$ ，求三棱锥P−ABC的体积.

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18. 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.

(1)、证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；

(2)、设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

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19. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $A E$ 为底面直径， $A E = A D$ ． $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，P为 $D O$ 上一点， $P O = \frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值．

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20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)、证明：l⊥平面PDC；

(2)、已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D ， E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1 C E = 2 ， M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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22. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\sqrt{5}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

(1)、求直线AB与DE所成角的余弦值；

(2)、若点F在BC上，满足BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

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23. 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

(1)、求证：EF∥平面AB₁C₁；

(2)、求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁ ．

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24. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

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25. 如图，三棱台DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．

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