2020年高考数学真题分类汇编专题10：平面解析几何（基础题）

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 点(0，﹣1)到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 1$ ，则点C的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、直线

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3. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 若直线l与曲线y= $\sqrt{x}$ 和x²+y²= $\frac{1}{5}$ 都相切，则l的方程为（）

A、y=2x+1 B、y=2x+ $\frac{1}{2}$ C、y= $\frac{1}{2}$ x+1 D、y= $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{2}$

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5. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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6. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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7. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设O为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $△ O D E$ 的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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9. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知⊙M： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当 $| P M | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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11. 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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12. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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13. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $P Q ⊥ l$ 于Q，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（）．

A、经过点O B、经过点P C、平行于直线 $O P$ D、垂直于直线 $O P$

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14. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A、4 B、5 C、6 D、7

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15. 已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 图象上的点，则|OP|＝（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、多选题

16. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ .（）

A、若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若m=0，n>0，则C是两条直线

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三、填空题

17. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为．

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18. 已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

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19. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 $| A B |$ = ．

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20. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= $\frac{3}{5}$ ， $B H ∥ D G$ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为cm² ．

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21. 已知直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $| A B | = 6$ ，则 $r$ 的值为．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x，则该双曲线的离心率是.

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ，A，B是圆C： $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 36$ 上的两个动点，满足 $P A = P B$ ，则△PAB面积的最大值是．

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24. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．

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25. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 $W = f (t)$ ，用 $- \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小评价在 $[a ， b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在 $[t_{1} ， t_{2}]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在 $[0 ， t_{1}] ， [t_{1} ， t_{2}] ， [t_{2} ， t_{3}]$ 这三段时间中，在 $[0 ， t_{1}]$ 的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是．

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26. 设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C₁：x²+y²＝1，C₂：（x﹣4）²+y²＝1，若直线l与C₁ ， C₂都相切，则k＝；b＝．

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