2020年高考数学真题分类汇编专题09：三角函数

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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2. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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4. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 已知2tanθ–tan(θ+ $\frac{π}{4}$ )=7，则tanθ=（）

A、–2 B、–1 C、1 D、2

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6. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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7. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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8. 设函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[- π，π]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A、 $\frac{10 π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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二、多选题

10. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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三、填空题

11. 关于函数f（x）= $\sin x + \frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

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12. 若 $\sin x = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x =$ ．

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13. 如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， $A B = A D = \sqrt{3}$ ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.

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14. 将函数y= $3 \sin (2 x ﹢ \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.

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15. 已知 $\sin^{2} (\frac{π}{4} + α)$ = $\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值是.

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16. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) + \cos x$ 的最大值为2，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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17. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）＝．

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四、解答题

18. 在① $a c = \sqrt{3}$ ，② $c sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin A = \sqrt{3} sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， ▲ ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：△ABC是直角三角形．

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20. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

(1)、若a= $\sqrt{3}$ c，b=2 $\sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若sinA+ $\sqrt{3}$ sinC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求C.

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21. 已知函数f(x)=sin²xsin2x.

(1)、讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)、证明： $| f (x) | \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；

(3)、设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^{n}}{4^{n}}$ .

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22. $△ A B C$ 中，sin²A－sin²B－sin²C=sinBsinC．

(1)、求A；

(2)、若BC=3，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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23. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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24. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 3 ， c = \sqrt{2} ， B = 45 °$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、在边BC上取一点D，使得 $\cos ∠ A D C = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ D A C$ 的值．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

条件①： $c = 7 ， \cos A = - \frac{1}{7}$ ；

条件②： $\cos A = \frac{1}{8} ， \cos B = \frac{9}{16}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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26. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ $\sqrt{3}$ a．
（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

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