2020年高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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2. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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3. 设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B、是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C、是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D、是偶函数，且在(0，+∞)单调递减

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4. 设 $a \log_{3} 4 = 2$ ，则 $4^{- a} =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ 单调递减

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6. 若 $2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b^{2}$ D、 $a < b^{2}$

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7. 若定义在R的奇函数f(x)在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，且f(2)=0，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 1] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， 3]$

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8. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， & x ⩾ 0 ， \\ - x ， & x < 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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10. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）．

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13. 已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）

A、a＜0 B、a＞0 C、b＜0 D、b＞0

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14. 若 $2^{x} - 2^{y} < 3^{- x} - 3^{- y}$ ，则（）

A、 $\ln (y - x + 1) > 0$ B、 $\ln (y - x + 1) < 0$ C、 $\ln | x - y | > 0$ D、 $\ln | x - y | < 0$

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二、多选题

15. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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16. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 $1 ， 2 ， \dots ， n$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1 ， 2 ， \dots ， n) ， \sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .（）

A、若n=1，则H(X)=0 B、若n=2，则H(X)随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大 D、若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1 ， 2 ， \dots ， m$ ，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1 ， 2 ， \dots ， m)$ ，则H(X)≤H(Y)

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三、填空题

17. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \ln x$ 的定义域是．

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18. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ，则f(-8)的值是.

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四、解答题

19. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像；

(2)、求不等式 $f (x) > f (x + 1)$ 的解集．

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