2020年高考数学真题分类汇编专题04：数列

试卷更新日期：2020-07-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a₅–a₃=12，a₆–a₄=24，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ =（）

A、2ⁿ–1 B、2–2¹^–ⁿ C、2–2ⁿ^–¹ D、2¹^–ⁿ–1

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2. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8} =$ （）

A、12 B、24 C、30 D、32

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3. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A、3699块 B、3474块 C、3402块 D、3339块

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4. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ， $a_{5} = - 1$ ．记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）．

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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6. 已知等差数列{a_n}的前n项和S_n ，公差d≠0， $\frac{a_{1}}{d}$ ≤1．记b₁＝S₂ ， b_n+1＝S_2n+2﹣S_2n ， n∈N*，下列等式不可能成立的是（）

A、2a₄＝a₂+a₆ B、2b₄＝b₂+b₆ C、a₄²＝a₂a₈ D、b₄²＝b₂b₈

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二、填空题

7. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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8. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 3 n - 1$ ，前16项和为540，则 $a_{1} =$ .

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9. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前n项和为．

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10. 设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 $S_{n} = n^{2} - n + 2^{n} - 1 (n \in N^{+})$ ，则d+q的值是．

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11. 已知数列{a_n}满足a_n＝ $\frac{n (n + 1)}{2}$ ，则S₃＝．

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三、解答题

12. 设等比数列{a_n}满足 $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{3} - a_{1} = 8$ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列{log₃a_n}的前n项和．若 $S_{m} + S_{m +}_{1} = S_{m}_{+ 3}$ ，求m．

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13. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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14. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和．

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15. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

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16. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${b_{m}}$ 的前100项和 $S_{100}$ ．

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17. 已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中，a₁＝b₁＝c₁＝1，c_n+1＝a_n+1﹣a_n ， c_n+1＝ $\frac{b_{n}}{b_{n + 2}}$ •c_n（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比q＞0，且b₁+b₂＝6b₃ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，证明：c₁+c₂+…+c_n＜1+ $\frac{1}{d}$ ．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和．

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19. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项a₁=1，前n项和为S_n ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 $S_{n + 1}^{\frac{1}{k}} - S_{n}^{\frac{1}{k}} = λ a_{n + 1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“λ–k”数列．

(1)、若等差数列 ${a_{n}}$ 是“λ–1”数列，求λ的值；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} - 2$ ”数列，且a_n＞0，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 ${a_{n}}$ 为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 ${a_{n}}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j} (i > j)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}} = a_{m}$ ；

②对于 ${a_{n}}$ 中任意项 $a_{n} (n ⩾ 3)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l} (k > l)$ ．使得 $a_{n} = \frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．

(Ⅰ)若 $a_{n} = n (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_{n} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 ${a_{n}}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： ${a_{n}}$ 为等比数列.

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