湖南省长沙市雨花区2020年中考数学4月模拟试卷

试卷更新日期：2020-07-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数比﹣1大的数是（）

A、﹣7 B、﹣5 C、﹣3 D、0

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2. 下列运算中，计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(3 a^{2})}^{3} = 27 a^{6}$ C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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3. 据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（）

A、9×10⁵ B、9.0×10⁵ C、9.00×10⁵ D、9.003×10⁴

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4. 若 $a b < 0$ 且 $a > b$ ，则函数 $y = a x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列不等式的变形错误的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a + 3 > b + 3$ B、若 $- a > - b$ ，则 $a < b$ C、若 $- \frac{1}{2} x < y$ 则 $x > - 2 y$ D、若 $- 2 x > a$ 则 $x > - \frac{1}{2} a$

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6. 下图是2月26日至3月10日14天期间全国新冠肺炎新增确诊病例统计图，根据图中信息，下列描述错误的是（）

A、2月29日新增确诊病例数最多 B、3月1日新增确诊病例数较前日大幅下降 C、2月29日后新增确诊病例数持续下降 D、新增确诊病例数最少出现在3月9日

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7. 如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P ，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是（）

A、36° B、54° C、60° D、66°

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8. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3).作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）

A、(2，-1) B、(1，-2) C、(-2，1) D、(-2，-1)

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9. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）

A、40° B、50° C、65° D、25°

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11. Rt△ABC ，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（）

A、80 B、80或120 C、60或120 D、80或100

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12. 已知二次函数y＝ax²+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

x

2

4

5

y

0.38

0.38

6

则（a+b+c）（ $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ + $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ）值为（）

A、24 B、36 C、6 D、4

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二、填空题

13. 如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣2的“负倒数”等于．

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14. 小明记录了一周每天的零花钱（单位：元）如下：5.5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，则这组数据的中位数是．

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15. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝斛米.（注：斛是古代一种容量单位）

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16. 已知反比例函数y= $\frac{k - 1}{x}$ （k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是．

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17. 如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是.

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18. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF ，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S_△_ABE＝4S_△_ECF ．其中正确的有（填序号）．

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三、解答题

19. 计算：（ $\sqrt{2}$ ﹣1）⁰﹣2cos60°+（﹣ $\frac{1}{3}$ ）^﹣¹+（﹣1）²⁰²⁰ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1} - \frac{a^{2} - 2 a}{a - 2}$ ÷a ，中a＝ $\sqrt{2}$ ﹣1．

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21. 2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“.某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

(2)、求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

(3)、学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率.

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22. 如图所示，已知A ， B两点的坐标分别为（2 $\sqrt{3}$ ，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D ．

(1)、当OP⊥AB时，求OP；

(2)、当∠AOP＝30°时，求AP ．

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23. 在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．

(1)、求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？

(2)、若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？

(3)、正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？

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24. 在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．

(1)、你认为小玲和小强的说法对吗？

(2)、请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；

(3)、要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？

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25. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C₁与抛物线C₂组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁与抛物线C₂与x轴有相同的交点M ， N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A ， B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C₂的解析式为y＝mx²+4mx﹣12m ，（m＞0）．

(1)、请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；

(2)、求M ， N两点的坐标；

(3)、在第三象限内的抛物线C₁上是否存在一点P ，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．

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26. 在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD ，以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF（如图1）．

(1)、如果AB＝AC ，且点D在线段BC上运动，证明：CF⊥BD；

(2)、如果AB≠AC ，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；

(3)、设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P ，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．

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x	2	4	5
y	0.38	0.38	6