湖南省常德市2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $| 2 |$ 的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知三角形中，某两条边的长分别为4和9则另一条边的长可能是（）

A、4 B、5 C、12 D、13

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3. 若函数 $y = (k + 1) x + 2$ 中，y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围为（）

A、 $k < 0$ B、 $k > 0$ C、 $k < 1$ D、 $k < - 1$

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4. 若实数 $a 、 b 、 c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

A、 $| c | > | a |$ B、 $b c > 0$ C、 $b + c < 0$ D、 $a + c < 0$

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5. 某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别为 $S_{甲}^{2} = 26.5 ， S_{乙}^{2} = 29$ ，则两组成绩的稳定性是（）

A、甲组比乙组的成绩稳定 B、乙组比甲组的成绩稳定 C、甲、乙两组的成绩一样稳定 D、无法确定

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 中，O为 $B D$ 的中点，过点O作 $E F ⊥ B D$ 分别交 $A B 、 C D$ 于点 $E 、 F ，$ 若 $A D = 2 ， A B = 4 ，$ 则 $D E$ 的长为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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7. 下列计算错误的是（）

A、 $(a^{3} b) \cdot (a b^{2}) = a^{4} b^{3}$ B、 ${(- m n^{3})}^{2} = m^{2} n^{6}$ C、 $a^{5} \div a^{- 2} = a^{3}$ D、 $x y^{2} - \frac{1}{5} x y^{2} = \frac{4}{5} x y^{2}$

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8. 已知实数 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如：-2的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 2)} = \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ ．如果 $a_{1} = - 1 ， a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数．．．依次类推，则 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{100} =$ （）

A、48.5 B、49.5 C、50 D、51.5

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二、填空题

9. $- 27$ 的立方根是．

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10. 一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是边形．

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11. 为防疫新冠病毒，我国的口罩产能大幅提升，今年四月初我国日产口罩达到 $210000000$ 只，将 $210000000$ 用科学记数法表示为．

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12. $5$ 个正整数中，中位数是 $6$ ，唯一的众数是 $8 ，$ 则这 $5$ 个数的和的最大值为．

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (k + 3) x + 2 = 0$ 的一个根是-1，则另一个根是．

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14. 如图，要用纸板制作一个母线长为 $8 c m ，$ 底面圆半径为 $6 c m$ 的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 $c m^{2}$ ．

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15. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为．

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16. 如图，在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A_{1} B_{1} = 7 ， B_{1} C_{1} = 4 ， A_{1} C_{1} = 5 ，$ 依次连接 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三边中点，得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，再依次连接 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的三边中点得 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，···，则 $△ A_{5} B_{5} C_{5}$ 的周长为．

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三、解答题

17. 计算： $| 1 - \sqrt{3} | + 2020^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1} - 3 \cdot t a n 30^{\circ}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \leq 4 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$

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19. 先化简，再求值： $(\frac{2 x + y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x}{y^{2} - x^{2}}) \div \frac{x}{x - y}$ ，其中 $x = 2 + \sqrt{3} ，$ $y = \frac{1}{8}$ ．

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20. 如图 $R t △ O A B$ 的面积为 $6 ， ∠ O B A = 90 °$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、从 $M (1 ， 6) ， N (3 ， 4) ， P (- 1 ， 12) ， Q (- 6 ， - 2)$ 四个点中任取两个点，请用树状图或列表法，求恰有一个点在反比例函数图象上的概率．

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21. 为鼓励学生参与体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为 $3 ： 2$ ，单价和为80元．

(1)、篮球和排球的单价分别是多少元？

(2)、若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球的数量多于25个，有哪几种购买方案？

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22. 如图， $A ， P ， B ， C$ 是圆上的四个点， $∠ A P C = ∠ C P B = 60 ° ， A P ， C B$ 的延长线相交于点D．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形：

(2)、若 $∠ P A C = 90 ° ， A B = 2$ ，求 $P D$ 的长．

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23.
某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为3元，使用期间，若备用笔芯不足时需另外购买，每个5元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个笔芯作出选择，为此收集了这种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的30组数据，整理绘制出下面的条形统计图：
设x表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y表示每支水彩笔在购买笔芯上所需要的费用（单位：元），n表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数．

(1)、若n=9，求y与x的函数关系式；

(2)、若要使这30支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于0.5，确定n的最小值；

(3)、假设这30支笔在购买时，每支笔同时购买9个笔芯，或每支笔同时购买10个笔芯，分别计算这30支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购买一支水彩笔的同时应购买9个还是10个笔芯．

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24. 在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳篷，如图 $(a)$ ，现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳篷，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为 $30^{\circ}$ ；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为 $60^{\circ}$ ．把图 $(a)$ 画成图 $(b)$ ，其中 $A B$ 表示窗户的高， $B C D$ 表示直角形遮阳篷．

(1)、遮阳篷 $B C D$ 怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内，而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图 $(c)$ 中画图表示；

(2)、已知 $A B = 150 c m$ ，在 $(1)$ 的条件下，求出 $B C ， C D$ 的长度．

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (- 4 ， - 3)$ ，与x轴交于 $A (- 5 ， 0) ， C (- 1 ， 0)$ 两点， $D$ 为顶点，P为抛物线上一动点(与点 $B 、 C$ 不重合)

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 在直线 $B C$ 的下方运动时，求 $△ P B C$ 的面积的最大值；

(3)、该抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C = ∠ B C D$ ？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 已知四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ} ， ∠ E A F$ 的两边分别与射线 $C B 、 D C$ 相交于点 $E 、 F$ ，且 $∠ E A F = 60 ° .$

(1)、如图1，当点E是线段 $C B$ 的中点时，求证： $A E = E F$ ；

(2)、如图2，当点E是线段 $C B$ 上任意一点时(点E不与 $B 、 C$ 重合)，求证： $B E = C F$ ；

(3)、如图3，当点E在线段 $C B$ 的延长线上时，设 $A F$ 交 $B C$ 于点G求证： $A G \cdot C F = A F \cdot C G$ ．

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