湖北省天门、仙桃、潜江三市联考2016-2017学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-09-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合M={x|2^x＞1}，集合N={x|log₂x＞1}，则下列结论中成立的是（）

A、M∩N=M B、M∪N=N C、M∩（∁_UN）=∅ D、（∁_UM）∩N=∅

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2. 由a₁=1，d=3确定的等差数列{a_n}中，当a_n=298时，序号n等于（）

A、99 B、100 C、96 D、101

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（2k，3），且 $\vec{a}$ ⊥（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则实数k的值为（）

A、﹣8 B、﹣2 C、1.5 D、7

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4. 函数 $f (x) = c o s^{2} x - 2 c o s^{2} \frac{x}{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、﹣1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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5. 已知a＞b，则下列不等式①a²＞b²② $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ③ $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ 中不成立的个数是（）

A、3 B、1 C、0 D、2

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6. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x - 3 l o g_{a} 2 ， a \in {\frac{1}{5} ， \frac{1}{4} ， 2 ， 4 ， 5 ， 8 ， 9}$ ，则f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{7}$

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7. 设f（x）=lg（10^x+1）+ax是偶函数，g（x）= $\frac{4^{x} - b}{2^{x}}$ 是奇函数，那么a+b的值为（）

A、1 B、﹣1 C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为
（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）

A、2.598 B、3.106 C、3.132 D、3.142

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9. 某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，并画频率分布直方图，如图所示，则该次考试数学成绩的众数的估计值是（）

A、70 B、71 $\frac{2}{3}$ C、75 D、80

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10. 正数a，b满足等式2a+3b=6，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{25}{6}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、4

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11. 如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB= $\frac{π}{3}$ ，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 若函数y=ksin（kx+φ）（k＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）与函数y=kx﹣k²+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）

A、x=﹣ $\frac{π}{24}$ B、x= $\frac{37 π}{24}$ C、x= $\frac{17 π}{24}$ D、x=﹣ $\frac{13 π}{24}$

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二、填空题

13. 函数f（x）= $\sqrt{2 x^{2} + x - 3}$ +log₃（3+2x﹣x²）的定义域为．

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14. 在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则该等比数列的公比．

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15. 在边长为2的正三角形ABC中，设 $\vec{B C}$ =2 $\vec{B D}$ ， $\vec{C A}$ =3 $\vec{C E}$ ，则 $\vec{A D}$ • $\vec{B E}$ = ．

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16. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是米．

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三、解答题

17. 求函数 $f (x) = \frac{- 2 x^{2} + x - 3}{x} ， (x > 0)$ 的最大值，以及此时x的值．

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18. 当p，q都为正数且p+q=1时，试比较代数式（px+qy）²与px²+qy²的大小．

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19. △ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $1 + \frac{t a n A}{t a n B} = \frac{2 c}{\sqrt{3} b}$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin²B﹣2sinBcosC的取值范围．

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20. 已知首项为1的数列{a_n}的前n项和为S_n ，若点（S_n_﹣1 ， a_n）（n≥2）在函数y=3x+4的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂ $\frac{a_{n + 2}}{7}$ ，且b_n=2ⁿ⁺¹•c_n ，其中n∈N^* ，求数列{c_n}的前前n项和T_n ．

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21. 某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100～110的学生数有21人．
（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n；
（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占 $\frac{1}{3}$ ）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（u₁ ， v₁），（u₂ ， v₂），（u_n ， v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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22. 已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（Ⅰ）设 $a = 2 ， b = \frac{1}{2}$ ，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）设 $a = \frac{1}{3} ， b \geq 3$ ，函数g（x）=f（x）﹣2，已知b＞3时存在x₀∈（﹣1，0）使得g（x₀）＜0．若g（x）=0有且只有一个零点，求b的值．

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数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106