浙江省温州市2019-2020学年高三数学11月适应性测试一模试卷

试卷更新日期：2020-07-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4}$ ， $A = {1, 3}$ ， $C_{U} B = {2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${4}$ D、 ${1, 3, 4}$

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2. 设实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3 x + 4 y - 12 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）

A、 $\frac{1}{6} c m^{3}$ B、 $\frac{1}{3} c m^{3}$ C、 $\frac{1}{2} c m^{3}$ D、 $\frac{2}{3} c m^{3}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x B、y=± $\sqrt{2}$ x C、y=±2x D、y=± $\frac{1}{2}$ x

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5. 已知a，b是实数，则“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”是“ $a b + 1 > a + b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在四面体ABCD中， $Δ B C D$ 为等边三角形， $∠ A D B = \frac{π}{2}$ ，二面角 $B - A D - C$ 的大小为 $α$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{4}]$ C、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{2}]$

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8. 已知随机变量 $ξ$ 满足 $P (ξ = 0) = 1 - p$ ， $P (ξ = 1) = p$ ，其中 $0 < p < 1$ .令随机变量 $η = | ξ - E (ξ) |$ ，则（）

A、 $E (η) > E (ξ)$ B、 $E (η) < E (ξ)$ C、 $D (η) > D (ξ)$ D、 $D (η) < D (ξ)$

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9. 如图，P为椭圆 $E_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一动点，过点P作椭圆 $E_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (0 < λ < 1)$ 的两条切线PA，PB，斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .若 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 2$ ， $x_{n + 1} = \sqrt{2 x_{n} - 1} (n \in N^{*})$ .给出以下两个命题：命题 $p :$ 对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $1 < x_{n + 1} < x_{n}$ ；命题 $q :$ 存在 $r \in (0, 1)$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $x_{n} \leq r^{n - 1} + 1$ .则（）

A、p真，q真 B、p真，q假 C、p假，q真 D、p假，q假

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二、填空题

11. 若复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ ， $| z | =$ ．

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12. 直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，则 $| A B | =$ ；以线段 $A B$ 为直径的圆的方程为．

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13. 若对 $x \in R$ ，恒有 $x^{7} + a = (1 + x) (a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6})$ ，其中 $a$ ， $a_{0}$ ， $a_{1}$ ，…， $a_{5}$ ， $a_{6} \in R$ ，则 $a =$ ， $a_{5} =$ .

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14. 如图所示，四边形ABCD中， $A C = A D = C D = 7$ ， $∠ A B C = 120^{°}$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为， $B D =$ .

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15. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有种.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $\vec{c} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ 的最大值为．

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17. 设函数 $f (x) = | x^{3} - | x + a | + 3 |$ .若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是.

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三、解答题

18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $b = 3$ ， $\sin A + a \sin B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求角A的值；

(2)、求函数 $f (x) = \cos^{2} (x - A) - \cos^{2} x$ （ $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ）的值域．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $B C / / A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B A$ ，且 $D P = D B$ ， $A B = B P = P A = A D = 2 B C$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $P B A$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $C D P$ 所成角的正弦值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，数列 ${2^{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} + 2$ ， $S_{2} + 2$ ， $S_{3} + 2$ 成等比数列．

(1)、求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{n} (\sqrt{\frac{a_{n}}{a_{1}}} + \sqrt{\frac{a_{n}}{a_{2}}} + \dots + \sqrt{\frac{a_{n}}{a_{n}}}) < 1 + \sqrt{\frac{n}{n + 1}}$ （ $n \in N^{*}$ ）；

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21. 如图， $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中 $y_{1} > 0$ ， $y_{1} y_{2} = - 4$ ．过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线交抛物线的准线于点 $H$ ，直线 $H F$ 交抛物线于点 $P$ ， $Q$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求四边形 $A P B Q$ 的面积 $S$ 的最小值．

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22. 已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = e^{a x} - a x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时，若对任意的 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，均有 $f (x) \geq \frac{a}{2} (x^{2} + 1)$ ，求 $a$ 的取值范围．
注： $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数．

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