浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-07-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x - 1 \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 2, 1]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[- 2, 3)$

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2. 已知 $\lg 2 = a$ ， $\lg 3 = b$ ，则 $\lg 120 =$ （）

A、 $1 + a + b$ B、 $1 + a + 2 b$ C、 $1 + 2 a + b$ D、 $2 + 2 a + b$

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最大值是（）

A、11 B、10 C、5 D、9

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4. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $C$ ， $A$ ， $B$ 成等差数列， $a = 3$ ， $c = 2 b$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5. 若 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ ； B、若 $n ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$ ； C、若 $m / / β$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ ； D、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ .

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6. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、-5 B、5 C、-25 D、25

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{4}$ ，则 $a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} a_{n + 2} =$ （）

A、 $16 (1 - 4^{- n})$ B、 $16 (1 - 2^{- n})$ C、 $\frac{16}{3} (1 - 2^{- n})$ D、 $\frac{16}{3} (1 - 4^{- n})$

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8. 在正四面体 $A B C D$ 中，异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $α$ ，直线 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $C - A B - D$ 的平面角为 $γ$ ，则 $α$ ， $β$ ， $γ$ 的大小关系为（）

A、 $β < α < γ$ B、 $α < β < γ$ C、 $γ < β < α$ D、 $β < γ < α$

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9. 函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，且对任意的 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，不等式 $f (a x + 1) \leq f (x - 2)$ 恒成立.则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 5 ， 0]$ C、 $[- 5 ， 1]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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10. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，则对任意共面的单位向量 $\vec{e}$ ， $| \vec{a} \cdot \vec{e} | - | \vec{b} \cdot \vec{e} |$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2

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二、填空题

11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} + a_{6} + a_{9} = 24$ ，则 $a_{6} =$ ， $S_{11} =$ .

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12. 几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为，几何体的外接球的直径为.

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13. 若直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 是直线 $x - 2 y - 6 = 0$ 的倾斜角的2倍，则 $\tan α =$ ， $\frac{\sin 2 α + \sin^{2} α}{1 - \cos 2 α} =$ .

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14. 已知 $a$ ， $b$ 是正实数，且 $a + 2 b - 3 a b = 0$ ，则 $a b$ 的最小值是， $a + b$ 的最小值是.

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，若 $b^{2} = a c$ ，且 $a = b \cos A$ ，则 $\cos B =$ .

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16. 正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角，下列结论：①异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60 °$ ；② $A C ⊥ B D$ ；③ $Δ A C D$ 是等边三角形；④二面角 $A - B C - D$ 的平面角正切值是 $\sqrt{2}$ ；其中正确结论是.（写出你认为正确的所有结论的序号）

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17. 已知 $a$ 是实数，若对于任意的 $x > 0$ ，不等式 $[(4 a - 2) x + \frac{1}{4}] (x^{2} + a x - \frac{1}{8}) \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 4 \cos x [\sin (x - \frac{π}{3}) + \sin x]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于 $Δ B C E$ 所在的平面， $B C = C E$ ， $F$ 为 $C E$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、若 $P$ 、 $M$ 分别为线段 $A E$ 、 $C D$ 的动点，当 $B E ⊥ P M$ 时，试确定点 $P$ 的位置，并加以证明.

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20. 如下图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长都是2， $∠ C A A_{1} = 60 °$ ， $A_{1} B = 3$ ， $D$ ， $D_{1}$ 分别是 $A C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D D_{1} / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，数列 ${a_{n} + \frac{1}{2}}$ 是公比为3的等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $n \geq 2$ 时，证明： $\frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{3^{n - 1}}$ ；

(3)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{2}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ .

(1)、若 $b = 3$ 时，不等式 $f (x) \leq x$ 对 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有两个不同的零点，求 $a - 2 b$ 的取值范围.

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