广西壮族自治区南宁市2019-2020学年高三上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2020-07-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x²﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　）

A、{﹣2，﹣1，0} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，1} D、{0，1，2}

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2. 若复数z满足 $(1 + 3 i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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3. 某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A、方差 B、中位数 C、众数 D、平均数

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4. 若 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为150，则 $a^{2} =$ （）

A、20 B、15 C、10 D、25

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5. 设递增的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{4} = \frac{40}{3}$ ， $3 a_{4} - 10 a_{3} + 3 a_{2} = 0$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、9 B、27 C、81 D、 $\frac{8}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x + b$ 的图象在点 $(1 ， a + b)$ 处的切线方程是 $y = 3 x - 2$ ，则 $a - b =$ （）

A、2 B、3 C、-2 D、-3

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7. 函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $P A ⊥$ 平面ABCD，ABCD为正方形，且 $P A = A D$ ，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = \frac{3}{10}$ ，则①处应填写（）

A、 $k < 3 ?$ B、 $k ⩽ 3 ?$ C、 $k ⩽ 5 ?$ D、 $k < 5 ?$

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10. 已知点 $F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的右焦点，直线 $y = k x$ 与双曲线交于A，B两点，若 $∠ A F_{2} B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A F_{2} B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{| x |} + 1) + \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 3}$ ，则不等式 $f (\lg x) > 3$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{10}, 10)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (10, + \infty)$ C、 $(1, 10)$ D、 $(\frac{1}{10}, 1) \cup (1, 10)$

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12. 已知 $ω > \frac{1}{3}$ ，函数 $f (x) = \sin (2 ω x - \frac{π}{3})$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 内没有最值，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 上单调递增；

② $ω \in [\frac{5}{12} ， \frac{11}{24}]$

③ $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上没有零点；

④ $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上只有一个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A、②④ B、①③ C、②③ D、①②④

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二、填空题

13. 已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 设 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{7} = - 2 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{5} + a_{4}} =$ .

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15. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，且 $| A F_{1} | = 3 | B F_{1} |, | A B | = | B F_{2} |$ ，则椭圆的离心率为.

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = D D_{1} = 1 ， A B = \sqrt{3}$ ，E，F，G分别为 $A B ， B C ， C_{1} D_{1}$ 的中点，点P在平面ABCD内，若直线 $D_{1} P / /$ 平面EFG，则线段 $D_{1} P$ 长度的最小值是.

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三、解答题

17. 为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间 $(\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)$ 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 $\bar{x}$ ，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 15$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、求样本平均数的大小；

(2)、若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1 ， A B = \sqrt{2} ， B_{1} C = 1 ， B_{1} C ⊥$ 平面ABC.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$

(2)、求二面角 $A - B_{1} B - C$ 的余弦值.

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19. $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边.已知 $a (\sin A + 4 \sin B) = 8 \sin A$ .

(1)、若 $b = 1, A = \frac{π}{6}$ ，求 $\sin B$ ；

(2)、已知 $C = \frac{π}{3}$ ，当 $△ A B C$ 的面积取得最大值时，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + m x^{2} + m + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，求m的值.

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21. 如图，已知抛物线E：y²=4x与圆M：(x $-$ 3)²+y²=r²(r>0)相交于A，B，C，D四个点.

(1)、求r的取值范围；

(2)、设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.

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22. 在直角坐标系中，已知圆 $M : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = a^{2} + 1$ ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 平分圆M的周长.

(1)、求圆M的半径和圆M的极坐标方程；

(2)、过原点作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与圆M交于O，A两点， $l_{2}$ 与圆M交于O，B两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值.

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23. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 4$ .

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

(2)、证明： ${(a + \frac{1}{a})}^{2} + {(b + \frac{1}{b})}^{2} ⩾ \frac{25}{2}$

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