广东省江门市2019-2020学年高三文数调研测试试卷

试卷更新日期：2020-07-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合A=｛x｜x是小于9的正整数｝， $B = {0, 3, 6, 9, 10}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 3, 6, 9}$ B、 ${3, 6, 9}$ C、 ${3, 6}$ D、 ${0, 3, 6}$

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2. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 若 $0 < b < 1$ 且 $\log_{a} b < 1$ ，则（）

A、 $0 < a < b$ B、 $0 < b < a < 1$ C、 $0 < b < 1 < a$ D、 $0 < a < b$ 或 $a > 1$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = - 3 n^{2} + 2020 n + 1$ ，当 $a_{n}$ 取最大值时， $n =$ （）

A、336 B、337 C、336或337 D、338

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6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是有一条公共边的两个正三角形．该几何体的表面积为（）

A、 $2 + 4 \sqrt{3}$ B、 $2 + 8 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $8 + 2 \sqrt{3}$

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7. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则一定有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} / / \vec{b}$

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8. “ $a = 2$ ”是“直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y = a - 2$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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9. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{3 π}{2}) - 3 \cos x$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $(0 ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4} ， π)$ D、 $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{4})$

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10. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α 、 β 、 γ$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 $m ⊥ α, n / / α$ ，则 $m ⊥ n$         ②若 $α / / β, β / / γ, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$
③若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$          ④若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$
其中正确命题的序号是（   ）

A、①和② B、②和③ C、③和④ D、①和④

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线右支交于 $A$ 、 $B$ 两点．若 $Δ O A B$ 是正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x < 1 \\ | x - 3 | ， x \geq 1 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x - 1$ 的零点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除．写出它的逆命题：．

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14. 若 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1 - \sin 2 θ}{\cos 2 θ} =$ ．

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15. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1$ ，则 $z = 3 x - 4 y + 2$ 的最大值为．

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16. 若曲线 $y = x^{3} - x^{2}$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与直线 $y = - x$ 垂直，则切线 $l$ 的方程为．

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}} (n \in N_{+})$ 是等比数列，其前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + p$ ， $p$ 为常数．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}} (n \in N_{+})$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. $Δ A B C$ 的角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $2 \sin 2 C \cos C - \sin 3 C = \sin 2 C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求证： $a + b \leq 2 c$ ．

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19. 如图， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体， $E$ 、 $F$ 分别是 $C C_{1}$ 、 $B_{1} D$ 的中点．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $D B_{1} D_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 1$ ，求点 $F$ 到平面 $E B_{1} D_{1}$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线 $l$ 经过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直，设直线 $l$ 与椭圆交于 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点， $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}})$ （ $O$ 是坐标系的原点），证明：直线 $l$ 与直线 $O P$ 的斜率之积为常数．

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21. 设函数 $f (x) = a x - 3 \ln x - \frac{2}{x}$ ，其中 $a$ 为常数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内既有极大值，又有极小值，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos φ \\ y = \cos 2 φ + 1 \end{array}$ （ $φ$ 为参数， $0 \leq φ \leq π$ ）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $3 ρ \cos θ - ρ \sin θ + 2 = 0$ ．

(1)、求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、求 $C$ 和 $l$ 交点的直角坐标．

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23. 设 $x, y \in R_{+}$ ，且 $x + y = 1$ ．

(1)、若 $| x - 2 y | \leq \frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、求证： $(\frac{1}{x^{2}} - 1) (\frac{1}{y^{2}} - 1) \geq 9$ ．

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